Билет №11: 1. Средняя линия треугольника (определение, теорема и доказательство) 2. В треугольнике ABC угол C равен 90°, а угол В равен 70°. На катете АС отложен отрезок CD, равный СВ. Найти углы треугольника ABD

Билет №11

1. Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
2. Теорема о средней линии: Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна половине основания.
3. Доказательство: Пусть MN — средняя линия треугольника ABC (M — середина AB, N — середина AC). По теореме Фалеса, MN || BC. Также, \( MN = \frac{1}{2} BC \).

Решение задачи:

В треугольнике ABC \( \angle C = 90^\circ \), \( \angle B = 70^\circ \). Следовательно, \( \angle A = 180^\circ - 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ \). По условию, \( CD = CB \). Так как \( \angle C = 90^\circ \), треугольник BCD является прямоугольным. В равнобедренном треугольнике BCD (поскольку \( CD = CB \)), углы при основании BD равны. \( \angle CBD = \angle CDB \). Сумма углов в треугольнике BCD равна \( 180^\circ \), значит \( \angle CBD + \angle CDB + \angle BCD = 180^\circ \). Так как \( \angle BCD = 90^\circ \) (это внешний угол для треугольника ABD, или просто угол C), то \( 2 \cdot \angle CBD = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \), откуда \( \angle CBD = 45^\circ \). \( \angle CDB = 45^\circ \).

Теперь рассмотрим треугольник ABD. \( \angle A = 20^\circ \). \( \angle ABD = \angle ABC - \angle CBD = 70^\circ - 45^\circ = 25^\circ \). \( \angle ADB = 180^\circ - \angle CDB = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \).

Проверим сумму углов в треугольнике ABD: \( 20^\circ + 25^\circ + 135^\circ = 180^\circ \). Всё верно.

Ответ: Углы треугольника ABD равны 20°, 25°, 135°.