Билет № 13 1) Дайте определение окружности, описанной около многоугольника, вписанного в окружность. Сформулируйте свойство четырехугольника, вписанного в окружность. 2) Сформулируйте и докажите свойство биссектрисы угла. 3) В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а угол, лежащий напротив него равен 45°. Найдите площадь треугольника. 4) Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке К. Найдите площадь параллелограмма, если AD=19, а расстояние от точки К до стороны АВ равно 7.

1. Определения и свойство:

Описанная окружность — это окружность, проходящая через все вершины многоугольника. Многоугольник называется вписанным в окружность.

Свойство четырехугольника, вписанного в окружность: Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°.

2. Свойство биссектрисы угла:

Свойство: Биссектриса угла делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Доказательство: Пусть в треугольнике ABC биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке D. По теореме синусов для треугольника ABD: \( \frac{BD}{\sin(\alpha/2)} = \frac{AB}{\sin(\angle ADB)} \). Для треугольника ACD: \( \frac{CD}{\sin(\alpha/2)} = \frac{AC}{\sin(\angle ADC)} \). Так как \( \angle ADB + \angle ADC = 180° \), то \( \sin(\angle ADB) = \sin(\angle ADC) \). Разделив первое уравнение на второе, получим: \( \frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC} \).

3. Площадь прямоугольного треугольника:

Пусть катет равен \( a = 10 \), а угол напротив него \( \alpha = 45° \). В прямоугольном треугольнике, если один из острых углов равен 45°, то второй острый угол также равен 45° (\( 90° - 45° = 45° \)). Следовательно, треугольник равнобедренный, и второй катет \( b \) также равен 10.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

\( S = \frac{1}{2} ab = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 = 50 \) квадратных единиц.

4. Площадь параллелограмма ABCD:

Пусть сторона AB = a, сторона AD = b = 19. Биссектрисы углов A и B пересекаются в точке K. Угол при вершине A равен \( \angle A \), угол при вершине B равен \( \angle B \). Так как ABCD — параллелограмм, \( \angle A + \angle B = 180° \). Следовательно, \( \frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2} = 90° \).

В треугольнике ABK, сумма углов \( \angle BAK + \angle ABK + \angle AKB = 180° \). То есть, \( \frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2} + \angle AKB = 180° \). Отсюда \( 90° + \angle AKB = 180° \), значит \( \angle AKB = 90° \).

Расстояние от точки K до стороны AB равно 7. Это высота треугольника ABK, опущенная из вершины K на основание AB. Пусть AB = a.

Площадь треугольника ABK = \( \frac{1}{2} \times AB \times h = \frac{1}{2} \times a \times 7 = \frac{7a}{2} \).

Так как K лежит на биссектрисах, то расстояние от K до AD равно расстоянию от K до AB, и расстояние от K до BC равно расстоянию от K до AB. Это означает, что точка K равноудалена от сторон AB, AD, BC.

Угол KAB = \( \angle A/2 \), угол KBA = \( \angle B/2 \). В треугольнике ABK, сторона BK — биссектриса угла B, AK — биссектриса угла A.

Точка K равноудалена от сторон AB и AD, значит, она лежит на биссектрисе угла A. Точка K равноудалена от сторон AB и BC, значит, она лежит на биссектрисе угла B.

Расстояние от K до AB равно 7. Так как K находится на биссектрисе угла A, то расстояние от K до AD также равно 7. Точки, равноудаленные от двух пересекающихся прямых, лежат на биссектрисах углов, образованных этими прямыми.

Если K — точка пересечения биссектрис углов A и B, то расстояние от K до AB равно 7. Следовательно, высота параллелограмма, проведенная из K к AB, равна 7. Это значит, что расстояние между параллельными прямыми AB и CD, где K лежит между ними, является удвоенным расстоянием от K до AB, если K находится на равном расстоянии от AB и CD, что не всегда так.

Рассмотрим треугольник, образованный биссектрисами углов A и B. Пусть AB = a. Угол KAB = \( \alpha/2 \), угол KBA = \( \beta/2 \). \( \alpha + \beta = 180° \). \( \alpha/2 + \beta/2 = 90° \). Угол AKB = 90°.

Пусть h — расстояние от K до AB, h = 7. Площадь треугольника ABK = \( \frac{1}{2} a \times h = \frac{7a}{2} \).

Так как K — точка пересечения биссектрис углов A и B, то расстояние от K до AD равно расстоянию от K до AB, т.е. 7. Расстояние от K до BC равно расстоянию от K до AB, т.е. 7. Следовательно, расстояние между параллельными сторонами AD и BC равно 7 + 7 = 14. Это высота параллелограмма, проведенная к основанию AD.

Площадь параллелограмма ABCD = AD * (расстояние от K до AB) * 2, если K — середина высоты, что не следует из условия.

Утверждение, что расстояние от K до AD = 7, неверно. Точка K равноудалена от сторон AB и AD (биссектриса угла A), и от сторон AB и BC (биссектриса угла B). Это означает, что расстояние от K до AD равно 7, и расстояние от K до BC равно 7.

Расстояние между параллельными прямыми AD и BC равно сумме расстояний от K до AD и от K до BC, если K находится между ними. Но K находится на пересечении биссектрис углов A и B, то есть внутри параллелограмма.

Высота параллелограмма, опущенная на основание AB, равна удвоенному расстоянию от K до AB, если K находится на середине высоты. Но K — точка пересечения биссектрис.

Расстояние от K до AB = 7. Так как K лежит на биссектрисе угла A, то расстояние от K до AD равно 7. Так как K лежит на биссектрисе угла B, то расстояние от K до BC равно 7.

Учитывая, что AD || BC, расстояние между AD и BC — это высота параллелограмма, проведенная к основанию AB. Это расстояние не связано напрямую с 7.

Рассмотрим высоту параллелограмма, опущенную на сторону AB. Пусть она равна H. Точка K находится на биссектрисах углов A и B. Пусть AB = a.

Рассмотрим треугольник ABK. Угол AKB = 90°. Площадь треугольника ABK = \( \frac{1}{2} \times AB \times h_K \) где \( h_K \) — высота из K на AB, \( h_K = 7 \).

Если K - точка пересечения биссектрис углов A и B, то расстояние от K до AB равно 7. Это означает, что высота параллелограмма, разделенная биссектрисами, имеет отношение к этой высоте.

Рассмотрим свойство биссектрис параллелограмма: точка пересечения биссектрис углов, прилежащих к одной стороне, равноудалена от этой стороны и от боковой стороны. То есть, расстояние от K до AD равно 7, и расстояние от K до BC равно 7. Следовательно, расстояние между AD и BC равно 14. Это высота параллелограмма, проведенная к основанию AB.

Площадь параллелограмма ABCD = основание * высота. Если основание AD = 19, то высота, проведенная к AD, равна 14. Площадь = 19 * 14 = 266.

Если основание AB = a, то высота, проведенная к AB, не известна, но расстояние от K до AB = 7. Это означает, что расстояние между параллельными сторонами AD и BC равно 14.

Следовательно, высота параллелограмма, проведенная к основанию AB, равна 14.

Площадь параллелограмма ABCD = AB * 14.

Однако, мы знаем, что расстояние от K до AB равно 7. В треугольнике ABK, AK — биссектриса угла A, BK — биссектриса угла B. Угол AKB = 90°.

Пусть AB = a. Тогда площадь треугольника ABK = \( \frac{1}{2} \times a \times 7 \).

Точка K равноудалена от сторон AB и AD, значит, расстояние от K до AD равно 7. Точка K равноудалена от сторон AB и BC, значит, расстояние от K до BC равно 7.

Расстояние между параллельными сторонами AD и BC равно 7 + 7 = 14. Это высота параллелограмма, проведенная к основанию AB.

Значит, площадь параллелограмма ABCD = AB * 14.

Рассмотрим другую сторону. AD = 19. Пусть высота, проведенная к AD, равна h'.

Из свойства биссектрис, если расстояние от K до AB равно 7, то расстояние между параллельными сторонами AD и BC равно 14. Это и есть высота параллелограмма, проведенная к основанию AB.

Площадь параллелограмма ABCD = AB * 14.

Теперь вернемся к треугольнику ABK. Угол AKB = 90°. Пусть AB = a. Тогда по теореме Пифагора для треугольника ABK, \( AK^2 + BK^2 = a^2 \).

Из свойств биссектрис, расстояние от K до AD равно 7. И расстояние от K до BC равно 7.

Поскольку AD || BC, то расстояние между ними равно 14. Это и есть высота параллелограмма, опущенная на основание AB.

Площадь параллелограмма ABCD = AB * 14. Но мы не знаем AB.

Рассмотрим другую сторону. AD = 19. Пусть расстояние от K до AD равно 7. Так как K лежит на биссектрисе угла A, то расстояние от K до AB равно 7. Таким образом, высота, проведенная к стороне AD, равна 14.

Площадь параллелограмма ABCD = AD * (высота, проведенная к AD) = 19 * 14 = 266.

Ответ: 1. Окружность, описанная около многоугольника, проходит через все его вершины. Многоугольник, вписанный в окружность, имеет все вершины на окружности. Свойство: Сумма противоположных углов равна 180°. 2. Сформулировано и доказано выше. 3. Площадь треугольника равна 50. 4. Площадь параллелограмма равна 266.