Билет № 15 1) Сформулируйте теорему Фалеса, теорему о пропорциональных отрезках. 2) Сформулируйте и докажите свойство отрезков пересекающихся хорд. 3) Сторона ромба равна 34, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков. 4) Точка Н является основанием высоты ВН, проведенной из вершины прямого угла В прямоугольного треугольника АВС. Окружность с диаметром ВН пересекает стороны АВ и СВ в точках М и F соответственно. Найдите длину MF, если ВН-15.

1. Теоремы:

Теорема Фалеса: Если на одной стороне угла отложены равные отрезки и через их концы проведены параллельные прямые, то они отсекут на другой стороне угла равные отрезки.

Теорема о пропорциональных отрезках: Если параллельные прямые пересекают стороны угла, то они отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.

2. Свойство отрезков пересекающихся хорд:

Свойство: Если две хорды AB и CD пересекаются в точке P, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды, то есть AP · PB = CP · PD.

Доказательство: Рассмотрим треугольники APC и BPD. Угол APC = Угол BPD (вертикальные углы). Угол CAP = Угол CDB (опираются на одну дугу CB). Угол ACD = Угол ABD (опираются на одну дугу AD). Следовательно, треугольники APC и BPD подобны по двум углам. Из подобия следует, что \( \frac{AP}{PD} = \frac{CP}{PB} \). Перемножив крест-накрест, получим \( AP · PB = CP · PD \).

3. Длины отрезков, на которые делит высота сторону ромба:

Сторона ромба \( a = 34 \), острый угол \( \alpha = 60° \). Тупой угол \( \beta = 180° - 60° = 120° \).

Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла (например, из вершины B на сторону AD), образует прямоугольный треугольник. Пусть высота BH опущена из B на AD. В треугольнике ABH, угол BAH = 60° (острый угол ромба). Гипотенуза AB = 34.

Высота BH = AB · \( \sin(60°) = 34 · \frac{\sqrt{3}}{2} = 17√3 \).

В прямоугольном треугольнике ABH, найдем отрезок AH. AH = AB · \( \cos(60°) = 34 · \frac{1}{2} = 17 \).

Высота BH делит сторону AD (которая равна стороне ромба, т.е. 34) на два отрезка: AH и HD.

AH = 17.

HD = AD - AH = 34 - 17 = 17.

Таким образом, высота делит сторону ромба на два отрезка длиной 17 и 17.

4. Длина отрезка MF:

Треугольник ABC — прямоугольный, BH — высота, проведенная из вершины прямого угла B. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках M и F соответственно.

Так как BH — диаметр окружности, то углы BMH и BFH, опирающиеся на диаметр, равны 90°.

Следовательно, MH ⊥ AB и FH ⊥ CB. Но AB ⊥ CB (так как треугольник ABC прямоугольный).

Рассмотрим четырехугольник BMHF. Углы BMH и BFH — прямые. Угол ABC — прямой. Следовательно, BMHF — прямоугольник.

В прямоугольнике диагонали равны. Диагонали BMHF — BH и MF. Следовательно, MF = BH.

Дано, что BH = 15.

Следовательно, MF = 15.

Ответ: 1. Теоремы сформулированы выше. 2. Свойство сформулировано и доказано выше. 3. Длины отрезков: 17 и 17. 4. Длина MF равна 15.