Билет 13, задача 3: Углы FDB и CBD равны, углы FBD и CDB равны. Доказать, что равны углы F и C. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 21°. Найдите угол между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины прямого угла.

Доказательство:

1. Равенство углов F и C:
   1. В треугольниках FDB и CBD:
   • Угол FDB = Угол CBD (по условию)
   • Угол FBD = Угол CDB (по условию)
   • Сторона DB — общая.
   2. Следовательно, треугольники FDB и CBD равны по второму признаку равенства треугольников (по двум углам и прилежащей стороне).
   3. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: Угол F = Угол C.
2. Угол между биссектрисой и высотой:
1. Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°.
2. Пусть угол A = 21°, тогда угол B = 90° - 21° = 69°.
3. Проведем высоту CD из вершины C к гипотенузе AB. Угол ACD = 90° - Угол A = 90° - 21° = 69°.
4. Проведем биссектрису CE из вершины C к гипотенузе AB. Угол ACE = Угол C / 2 = 90° / 2 = 45°.
5. Угол между биссектрисой CE и высотой CD равен: Угол ECD = Угол ACD - Угол ACE = 69° - 45° = 24°.

Ответ: Углы F и C равны. Угол между биссектрисой и высотой равен 24°.