Билет 14, задача 4: В прямоугольном треугольнике KPE угол P = 90°, угол K = 60°. На катете PE отметили точку M такую, что угол KMP = 60°. Найдите PM, если EM = 16 см.

Решение:

1. Треугольник KPE:
   Угол P = 90°, угол K = 60°, следовательно, угол E = 180° - 90° - 60° = 30°.
2. Треугольник KME:
   Угол KMP = 60° (дано).
   Угол E = 30° (найдено).
   Следовательно, угол MKE = 180° - 60° - 30° = 90°.
3. Вывод:
   Треугольник KME является прямоугольным с прямым углом при вершине M.
4. Отношение сторон в треугольнике KME:
   Так как угол E = 30°, то катет KM, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы KE. KM = KE / 2.
   Катет EM, прилежащий к углу E, равен KM * √3, или EM = KE * cos(30°) = KE * (√3 / 2).
5. Нахождение KE:
   Из EM = KE * (√3 / 2) следует, что KE = 2 * EM / √3 = 2 * 16 / √3 = 32 / √3 см.
6. Нахождение KM:
   KM = KE / 2 = (32 / √3) / 2 = 16 / √3 см.
7. Треугольник KMP:
   Угол P = 90°, угол KMP = 60°. Следовательно, угол KPM = 180° - 90° - 60° = 30°.
8. Отношение сторон в треугольнике KMP:
   Катет PM, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы KP. PM = KP / 2.
   Катет KM, прилежащий к углу 30°, равен PM * √3.
9. Нахождение PM:
   Из KM = PM * √3 следует, что PM = KM / √3 = (16 / √3) / √3 = 16 / 3 см.

Ответ: PM = 16/3 см.