Билет №13 1. Теорема о вписанном угле (определение и доказательство). Следствия. 2. В остроугольном треугольнике MNP биссектриса угла М пересекает высоту NK в точке О, причем ОК = 9 см. Найти расстояние от точки О до прямой MN.

Билет №13

1. Теорема о вписанном угле

Определение: Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность в двух других точках.

Теорема: Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство (один из случаев):

1. Пусть \( \angle ABC \) — вписанный угол, а \( \angle AOC \) — центральный угол, опирающиеся на дугу AC. O — центр окружности.
2. Случай 1: Центр окружности O лежит на одной из сторон вписанного угла (например, на BC).
• \( OA = OC \) (радиусы окружности), следовательно, \( \triangle AOC \) — равнобедренный.
• \( \angle OAC = \angle OCA \).
• \( \angle AOC = \angle OAC + \angle OCA = 2 \angle OCA \).
• \( \angle OCA \) — это и есть наш вписанный угол \( \angle ABC \) (поскольку O лежит на BC).
• Значит, \( \angle AOC = 2 \angle ABC \), или \( \angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC \).
3. Случай 2: Центр окружности O лежит внутри угла ABC.
• Проведем через O луч BD, который является продолжением BC.
• \( \angle ABD = \frac{1}{2} \angle AOD \) (по случаю 1).
• \( \angle DBC = \frac{1}{2} \angle DOC \) (по случаю 1).
• \( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = \frac{1}{2} \angle AOD + \frac{1}{2} \angle DOC = \frac{1}{2} (\angle AOD + \angle DOC) = \frac{1}{2} \angle AOC \).
4. Случай 3: Центр окружности O лежит вне угла ABC.
• Аналогично, проводим луч BD через O.
• \( \angle ABC = \angle ABD - \angle CBD = \frac{1}{2} \angle AOD - \frac{1}{2} \angle COD = \frac{1}{2} (\angle AOD - \angle COD) = \frac{1}{2} \angle AOC \).
5. Теорема доказана.

Следствия:

• Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
• Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.

2. Задача: В остроугольном треугольнике MNP биссектриса угла М пересекает высоту NK в точке О, причем ОК = 9 см. Найти расстояние от точки О до прямой MN.

Дано:

• \( \triangle MNP \) — остроугольный.
• MO — биссектриса \( \angle M \).
• NK — высота, \( NK \perp MP \).
• O — точка пересечения MO и NK.
• \( OK = 9 \) см.

Найти: Расстояние от точки O до прямой MN (обозначим его как \( OH \), где \( OH \perp MN \)).

Решение:

1. Расстояние от точки O до прямой MN — это длина перпендикуляра, опущенного из O на MN. Обозначим точку пересечения этого перпендикуляра с MN как H. Тогда нужно найти длину отрезка OH.
2. Рассмотрим \( \triangle MOK \). \( NK \perp MP \), значит \( \angle MKO = 90^\circ \).
3. \( MO \) — биссектриса \( \angle M \), поэтому \( \angle KMO = \angle OMN \) (да, это \( \boldsymbol{\angle OMN} \), так как O лежит на биссектрисе).
4. Рассмотрим \( \triangle MON \) и \( \triangle MOH \).
5. \( \angle MON \) и \( \angle MOH \) — это части \( \angle NOK \) и \( \angle MOH \).
6. В \( \triangle MOK \) угол \( \angle MKO = 90^\circ \).
7. \( OH \perp MN \), значит \( \angle MHO = 90^\circ \).
8. Рассмотрим \( \triangle MOH \) и \( \triangle MOK \).
9. \( \angle OMH \) — это часть \( \angle OMN \). \( \angle KMO \) — это \( \angle OMN \).
10. Так как MO — биссектриса, то \( \angle KMO = \angle OMN \).
11. Рассмотрим \( \triangle MOH \) и \( \triangle MOK \).
• \( \angle OHM = 90^\circ \) (по построению OH).
• \( \angle MKO = 90^\circ \) (так как NK — высота).
• \( \angle OMH \) — часть \( \angle OMN \).
• \( \angle KMO \) — это \( \angle OMN \).
• \( \angle H O M \) и \( \angle K O M \) - углы, смежные с \( \angle K O H \)
12. Рассмотрим \( \triangle KOH \) и \( \triangle MOH \) - это не поможет.
13. Посмотрим на \( \triangle MHO \) и \( \triangle MKO \).
14. \( \angle MHO = 90^\circ \) и \( \angle MKO = 90^\circ \).
15. \( \angle H M O \) - это часть \( \angle K M O \).
16. \( \angle K M O = \angle O M N \).
17. В \( \triangle MOK \): \( \angle MKO = 90^\circ \). \( \angle KMO \) — угол при вершине M.
18. В \( \triangle MOH \): \( \angle MHO = 90^\circ \). \( \angle H M O \) — угол при вершине M.
19. Так как MO — биссектриса \( \angle M \), то \( \angle KMO = \angle OMN \).
20. Рассмотрим \( \triangle MHO \) и \( \triangle MKO \).
21. \( \angle H M O = \angle K M O \) (поскольку MO — биссектриса).
22. \( \angle MHO = 90^\circ \) и \( \angle MKO = 90^\circ \).
23. \( \triangle MHO \) и \( \triangle MKO \) — прямоугольные треугольники.
24. У них есть общий катет MO.
25. Однако, мы не знаем другие стороны или углы.
26. Нужно использовать свойство биссектрисы.
27. Биссектриса делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух других сторон. Это свойство применяется в \( \triangle MNP \) для биссектрисы MO.
28. \( \frac{MH}{HN} = \frac{MN}{NP} \) - это не верно. Биссектриса MO делит сторону NP.
29. MO — биссектриса \( \angle M \). \( \frac{MO}{OP} = \frac{MN}{NP} \) - это не верно.
30. Биссектриса MO делит сторону NK.
31. \( \frac{MK}{KN} = \frac{MO}{OP} \) - не верно.
32. Биссектриса MO делит сторону NP, если O лежит на NP.
33. O лежит на NK.
34. Рассмотрим \( \triangle MNK \). \( \angle MKN = 90^\circ \). \( \angle KMN \) — угол при вершине M.
35. Рассмотрим \( \triangle MOH \) и \( \triangle MKO \).
36. \( \angle MOH \) и \( \angle MOK \) - смежные углы.
37. \( \angle OHM = 90^\circ \). \( \angle OKM = 90^\circ \).
38. \( \triangle MOH \) и \( \triangle MOK \) — прямоугольные треугольники.
39. \( \angle O M H = \angle O M K \) (так как MO — биссектриса).
40. Следовательно, \( \triangle MOH = \triangle MOK \) по гипотенузе и острому углу.
41. Из равенства треугольников следует, что \( OH = OK \).
42. Нам дано \( OK = 9 \) см.
43. Следовательно, \( OH = 9 \) см.

Ответ: Расстояние от точки О до прямой MN равно 9 см.