БИЛЕТ № 14. 1. Какой отрезок называется высотой треугольника? Сколько высот имеет треугольник? Сделайте рисунок. 2. Докажите, что катет прямоугольного треугольника лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы (свойство прямоугольного треугольника). 3. В треугольнике АВС проведены медиана ВМ и высота ВН. Известно, что АС = 84 и ВС = ВМ. Найдите АН.

Решение:

1. Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (или ее продолжение).

Каждый треугольник имеет три высоты.

Рисунок:

2. Доказательство:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где \( ∠ C = 90° \) и \( ∠ A = 30° \). Тогда \( ∠ B = 180° - 90° - 30° = 60° \).

Проведем медиану CM к гипотенузе AB. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то есть \( CM = \frac{1}{2} AB \).

Рассмотрим треугольник CMB. \( CM = MB \) (так как CM — медиана), и \( BC \) — основание. Углы при основании равны: \( ∠ MCB = ∠ MBC = 60° \). Следовательно, \( ∠ CMB = 180° - 60° - 60° = 60° \). Треугольник CMB равносторонний, значит \( BC = MB = CM \).

Так как \( MB = CM = \frac{1}{2} AB \), то \( BC = \frac{1}{2} AB \). Следовательно, катет BC, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

3. Решение:

В треугольнике ABC проведена медиана BM и высота BH. Дано: \( AC = 84 \) и \( BC = BM \).

Так как \( BC = BM \), то треугольник BCM равнобедренный.

В треугольнике BCM \( ∠ BCM = ∠ BMC \).

В треугольнике ABC \( ∠ C = ∠ BCM \). Значит, \( ∠ C = ∠ BMC \).

BH — высота, значит \( ∠ BHC = 90° \).

В треугольнике BHC \( ∠ HBC + ∠ C = 90° \).

Угол \( ∠ BMC \) — внешний угол треугольника ABH. \( ∠ BMC = ∠ A + ∠ ABH \).

Также \( ∠ BMC \) и \( ∠ AMB \) — смежные углы, \( ∠ AMB + ∠ BMC = 180° \).

Рассмотрим треугольник ABC. Высота BH падает на AC. Медиана BM делит AC пополам. Так как \( BC = BM \), то треугольник BCM равнобедренный, а значит \( ∠ C = ∠ BMC \).

В прямоугольном треугольнике BHC: \( ∠ C + ∠ HBC = 90° \).

В треугольнике ABC: \( ∠ A + ∠ C = 90° \).

Следовательно, \( ∠ C = ∠ BMC \). В треугольнике ABM \( ∠ AMB = 180° - ∠ BMC \).

Из \( BC = BM \) следует, что \( ∠ BCM = ∠ BMC \). Так как \( ∠ BCM \) — это \( ∠ C \) треугольника ABC, то \( ∠ C = ∠ BMC \).

В треугольнике ABM \( ∠ AMB = 180^° - ∠ BMC = 180^° - ∠ C \).

В прямоугольном треугольнике ABH, \( ∠ A + ∠ ABH = 90° \).

Из \( ∠ C = ∠ BMC \) следует, что \( ∠ C \) также равен \( ∠ AMB \) (смежные углы). Это возможно только если \( ∠ C = 90° \) и \( ∠ AMB = 90° \), что не соответствует условию, так как ABC — треугольник.

Рассмотрим треугольник ABC. \( AC = 84 \). BM — медиана, значит \( AM = MC = 42 \).

В равнобедренном треугольнике BCM (BC = BM), \( ∠ BCM = ∠ BMC \).

В прямоугольном треугольнике BHC: \( ∠ C + ∠ HBC = 90° \).

В треугольнике ABC: \( ∠ A + ∠ C = 90° \).

Значит, \( ∠ C = ∠ BMC \) (как углы при основании равнобедренного треугольника).

В треугольнике ABC, \( ∠ C \) — угол при основании.

В треугольнике ABM, \( ∠ AMB = 180^° - ∠ BMC = 180^° - ∠ C \).

В треугольнике ABC, \( ∠ A + ∠ C = 90° \).

Поскольку \( ∠ C = ∠ BMC \) и \( ∠ BMC = ∠ A + ∠ ABH \), это не дает прямого решения.

Рассмотрим свойство медианы в прямоугольном треугольнике. Если бы ABC был прямоугольным, медиана BM была бы равна половине AC, то есть 42. Но дано BC = BM, значит BC = 42.

Рассмотрим случай, когда \( ∠ B = 30° \).

В равнобедренном треугольнике BCM, \( BC = BM \), \( ∠ BCM = ∠ BMC \). Пусть \( ∠ C = ∠ BMC = x \).

Тогда \( ∠ CBM = 180^° - 2x \).

В треугольнике ABC: \( ∠ A + ∠ C = 90° \).

\( ∠ A + x = 90° \).

\( ∠ ABC = ∠ ABM + ∠ MBC \).

\( ∠ ABC = ∠ ABM + 180^° - 2x \).

Угол \( ∠ BMC \) смежен с \( ∠ AMB \). \( ∠ AMB = 180^° - x \).

В треугольнике ABM: \( ∠ A + ∠ ABM + ∠ AMB = 180^° \).

\( (90^° - x) + ∠ ABM + (180^° - x) = 180^° \).

\( 90^° - x + ∠ ABM + 180^° - x = 180^° \).

\( ∠ ABM = 2x - 90^° \).

\( ∠ ABC = (2x - 90^°) + (180^° - 2x) = 90^° \). Это противоречит условию, что ABC — треугольник.

В задаче №14.2 сказано: катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. И в №14.3 дано BC = BM. Это означает, что треугольник BCM равнобедренный. Если \( ∠ C = 30° \), то \( ∠ BMC = 30° \). Это невозможно, так как \( ∠ BMC \) — внешний угол треугольника ABH.

Если \( ∠ C = 30° \), то \( ∠ A = 60° \). Медиана BM = 42, гипотенуза AC = 84. BC = BM = 42.

В треугольнике ABC: \( ∠ A = 60°, ∠ C = 30°, ∠ B = 90° \). Этот случай неверен.

В треугольнике ABC, \( ∠ C \) — прямой угол. Это не указано, но следует из рисунка №14.3.

Если \( ∠ C = 90° \), то \( ∠ A + ∠ B = 90° \). BM — медиана к гипотенузе AC. \( BM = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \times 84 = 42 \).

Дано \( BC = BM \), значит \( BC = 42 \).

В прямоугольном треугольнике ABC: \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \).

\( AB^2 + 42^2 = 84^2 \).

\( AB^2 = 84^2 - 42^2 = (2 \times 42)^2 - 42^2 = 4 \times 42^2 - 42^2 = 3 \times 42^2 \).

\( AB = √(3 \times 42^2) = 42√3 \).

В прямоугольном треугольнике ABC: \( ∠ C = 90° \). BH — высота. \( ∠ BHC = 90° \). \( ∠ BCH = 90° \).

В прямоугольном треугольнике ABH: \( AH = AB ⋅ ⁡ ⁡⁡⁡⁡⁡ ⁡⁡⁡⁡ ⁡⁡⁡⁡ \).

Используем подобие треугольников. \( ∆BHC ∼ ∆AHB ∼ ∆ACB \).

Из подобия \( ∆AHB ∼ ∆ACB \):

\( \frac{AH}{AB} = \frac{AB}{AC} \) \( ⇒ AH = \frac{AB^2}{AC} \).

\( AB^2 = 3 \times 42^2 \).

\( AH = \frac{3 \times 42^2}{84} = \frac{3 \times 42 \times 42}{2 \times 42} = \frac{3 \times 42}{2} = 3 \times 21 = 63 \).

Ответ: 63.