Билет №2 1. Определение параллелограмма. Свойство его углов и диагоналей. Доказательство

Решение:

1. Определение параллелограмма: Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
2. Свойства углов и диагоналей:
   • Свойства углов:
     • Противоположные углы равны.
     • Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180° (они являются смежными).
   • Свойства диагоналей:
     • Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
     • Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон.
3. Доказательство (свойства углов): Пусть ABCD — параллелограмм. По определению AB || CD и BC || AD.
• Так как BC || AD и AB — секущая, то \( \angle ABC + \angle BAD = 180^{\circ} \) (как односторонние углы).
• Аналогично, так как AB || CD и BC — секущая, то \( \angle ABC + \angle BCD = 180^{\circ} \).
• Из этих равенств следует, что \( \angle ABC = \angle ADC \) и \( \angle BAD = \angle BCD \) (противоположные углы равны).
4. Доказательство (свойства диагоналей): Рассмотрим \( \triangle AOB \) и \( \triangle COD \).
• \( AB = CD \) (противоположные стороны параллелограмма).
• \( \angle BAO = \angle DCO \) (как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей AC).
• \( \angle ABO = \angle CDO \) (как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей BD).
• Следовательно, \( \triangle AOB = \triangle COD \) по второму признаку равенства треугольников.
• Из равенства треугольников следует, что \( AO = CO \) и \( BO = DO \). Это означает, что диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Ответ: Даны определение, свойства углов и диагоналей параллелограмма, а также их доказательства.