Билет №4 2. Вывести значения тригонометрических функций для угла в 60°

Решение:

Рассмотрим равносторонний треугольник ABC со стороной \( a \). Проведем высоту BH из вершины B к стороне AC. В равностороннем треугольнике высота является также медианой и биссектрисой.

Значит, \( AH = HC = \frac{a}{2} \), и \( \angle ABH = \angle CBH = 90^{\circ} : 2 = 45^{\circ} \) (неверно, это для квадрата). В равностороннем треугольнике все углы равны 60°.

Высота BH делит угол \( \angle ABC = 60^{\circ} \) пополам, так что \( \angle ABH = 30^{\circ} \). Угол \( \angle BAH = 60^{\circ} \) (угол равностороннего треугольника). Угол \( \angle BHA = 90^{\circ} \) (по определению высоты).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH:

• Гипотенуза AB = \( a \).
• Катет AH = \( \frac{a}{2} \).
• Катет BH можно найти по теореме Пифагора: \( BH^2 = AB^2 - AH^2 = a^2 - (\frac{a}{2})^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4} \).
• Значит, \( BH = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \).

Теперь найдем тригонометрические функции угла 60° (угол \( \angle BAH \)):

• Синус: \( \sin 60^{\circ} = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BH}{AB} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
• Косинус: \( \cos 60^{\circ} = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AH}{AB} = \frac{\frac{a}{2}}{a} = \frac{1}{2} \)
• Тангенс: \( \tan 60^{\circ} = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BH}{AH} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a}{2}} = \sqrt{3} \)
• Котангенс: \( \cot 60^{\circ} = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{AH}{BH} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \)

Ответ: \( \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} \), \( \tan 60^{\circ} = \sqrt{3} \), \( \cot 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3} \).