Билет 2 1. Параллелограмм. Определение высоты параллелограмма. Свойства и признаки параллелограмма. Формула площади параллелограмма с доказательством 2. Окружность. Касательная к окружности (взаимное расположение прямой и окружности, свойство и признак касательной, теорема о двух касательных из одной точки.) 3. Задача На стороне AD параллелограмма ABCD отметили точку М. Найдите площадь параллелограмма, если площадь треугольника МВС равна 7.

Решение:

1. Параллелограмм

Определение: Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Высота параллелограмма — это перпендикуляр, опущенный из вершины параллелограмма на прямую, содержащую противоположную сторону.

Свойства параллелограмма:

• Противоположные стороны равны.
• Противоположные углы равны.
• Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

Признаки параллелограмма:

• Если у четырехугольника противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
• Если у четырехугольника противоположные углы попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
• Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Формула площади параллелограмма:

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, проведенную к этому основанию. \( S = a · h \), где \( a \) — длина основания, \( h \) — длина высоты.

Доказательство:

Пусть дан параллелограмм ABCD, проведем высоту BH к основанию AD. Площадь параллелограмма ABCD равна площади прямоугольника ABHK, где K — точка на стороне CD такая, что BK перпендикулярна AD. Площадь прямоугольника ABHK равна AB · BH. Так как AB = CD, а площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, то \( S_{ABCD} = AD · h \).

2. Окружность и касательная

Взаимное расположение прямой и окружности:

• Прямая и окружность не имеют общих точек (расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса).
• Прямая и окружность имеют одну общую точку (прямая называется касательной к окружности; расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу).
• Прямая и окружность имеют две общие точки (прямая называется секущей; расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса).

Свойство касательной: Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Признак касательной: Если из точки, лежащей на окружности, провести перпендикуляр к радиусу, то этот перпендикуляр является касательной к окружности.

Теорема о двух касательных: Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны.

3. Задача

Дано: ABCD — параллелограмм, M — точка на AD, \( S_{Δ MBC} = 7 \).

Найти: \( S_{ABCD} \).

Решение:

1. Площадь параллелограмма \( S_{ABCD} = AD · h \), где \( h \) — высота, проведенная к стороне AD.
2. Площадь треугольника \( S_{Δ MBC} = \frac{1}{2} · BC · h \), где \( h \) — высота, проведенная к основанию BC.
3. Так как BC = AD, а высота треугольника MBC, проведенная к основанию BC, равна высоте параллелограмма, то \( S_{Δ MBC} = \frac{1}{2} · AD · h = \frac{1}{2} S_{ABCD} \).
4. Следовательно, \( S_{ABCD} = 2 · S_{Δ MBC} = 2 · 7 = 14 \).

Ответ: Площадь параллелограмма равна 14.