Билет 6 1. Виды треугольников. Формулы площадей треугольников. Определение средней линии, теорема о средней линии треугольника с доказательством 2. Окружность. Теоремы о диаметре и хорде (основные определения, чертежи, формулировки теорем) 3. Задача Отрезки АВ и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если АВ=40, а расстояния центра окружности до хорд АВ и CD равны соответственно 21 и 20.

Решение:

1. Виды треугольников

По сторонам:

• Разносторонний: все стороны имеют разную длину.
• Равнобедренный: две стороны равны.
• Равносторонний: все три стороны равны.

По углам:

• Остроугольный: все углы острые (меньше 90°).
• Прямоугольный: один угол прямой (90°).
• Тупоугольный: один угол тупой (больше 90°).

Формулы площадей треугольников:

1. Через основание и высоту: \( S = \frac{1}{2} a · h_a \)
2. По формуле Герона (если известны стороны a, b, c): \( S = √{p(p-a)(p-b)(p-c)} \), где \( p = \frac{a+b+c}{2} \) — полупериметр.
3. Через две стороны и угол между ними: \( S = \frac{1}{2} ab · \text{sin} ³ \)

Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Теорема о средней линии треугольника: Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна половине основания. \( MN = \frac{1}{2} AC \), MN || AC.

Доказательство:

Пусть MN — средняя линия \( \triangle ABC \) (M — середина AB, N — середина BC). Проведем прямую через N параллельно AB. Она пересечет AC в точке P. По теореме Фалеса, если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой стороне. Так как N — середина BC, то NP || AB. Следовательно, AP = PC, то есть P — середина AC. Значит, NP — средняя линия. По построению NP || AB. Так как через точку N проведены две прямые, параллельные AB (MN и NP), а через точку N проходит только одна прямая, параллельная AB, то точки M, P, N лежат на одной прямой. Следовательно, MN || AC. Треугольники BMN и BAC подобны (по двум углам: \( \triangle B \) общий, \( \triangle BMN = \triangle BAC \) как соответственные). Отношение соответственных сторон равно 1/2, так как BM = 1/2 BA и BN = 1/2 BC. Отсюда \( \frac{MN}{AC} = \frac{1}{2} \), или \( MN = \frac{1}{2} AC \).

2. Окружность. Теоремы о диаметре и хорде

Определения:

• Окружность — множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра).
• Радиус (R): отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности.
• Диаметр (D): хорда, проходящая через центр окружности. \( D = 2R \).
• Хорда: отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Теоремы:

1. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам.
2. Обратно: Прямая, проходящая через центр окружности и середину хорды, перпендикулярна к этой хорде.
3. Равные хорды удалены от центра окружности на равные расстояния.
4. Обратно: Если хорды удалены от центра окружности на равные расстояния, то они равны.

3. Задача

Дано: AB и CD — хорды, AB=40, расстояние от центра до AB (h1)=21, расстояние от центра до CD (h2)=20.

Найти: CD.

Решение:

1. Проведем радиусы OA, OB, OC, OD.
2. Расстояние от центра до хорды — это перпендикуляр, опущенный из центра на хорду. Этот перпендикуляр делит хорду пополам.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, половиной хорды AB и расстоянием от центра до AB. Половина хорды AB = 40/2 = 20.
4. Найдем радиус окружности по теореме Пифагора: \( R^2 = (\frac{AB}{2})^2 + h_1^2 = 20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841 \).
5. \( R = √{841} = 29 \).
6. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, половиной хорды CD и расстоянием от центра до CD. \( R^2 = (\frac{CD}{2})^2 + h_2^2 \).
7. \( 29^2 = (\frac{CD}{2})^2 + 20^2 \).
8. \( 841 = (\frac{CD}{2})^2 + 400 \).
9. \( (\frac{CD}{2})^2 = 841 - 400 = 441 \).
10. \( \frac{CD}{2} = √{441} = 21 \).
11. CD = 2 * 21 = 42.

Ответ: Длина хорды CD равна 42.