Билет № 3. 4) Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 17, а одна из диагоналей ромба равна 68. Найдите углы ромба.

Пусть диагонали ромба равны \(d_1\) и \(d_2\), а его сторона — \(a\). Точка пересечения диагоналей является центром ромба, поэтому расстояние от неё до стороны — радиус вписанной окружности: \(r=17\).

1. Площадь ромба можно выразить двумя способами: \(S=\frac{d_1d_2}{2}=2ar\). Следовательно, \(d_1d_2=4ar=68a\).
2. Поскольку одна диагональ равна 68, другая, обозначенная \(x\), удовлетворяет равенству \(68x=68a\). Значит, \(x=a\).
3. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому сторона является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами \(68/2=34\) и \(x/2\). Из \(x=a\) получаем \(a^2=34^2+(a/2)^2\), откуда \(x=\frac{68}{\sqrt3}\).
4. Половины диагоналей образуют прямоугольный треугольник. Отношение меньшего катета к большему равно \(\frac{x}{68}=\frac1{\sqrt3}\), поэтому острый угол этого треугольника равен 30°. Диагональ ромба делит его угол пополам, значит острый угол ромба равен 60°.
5. Соседние углы ромба supplementary: их сумма равна 180°, поэтому второй угол равен 120°.

Ответ: углы ромба — 60° и 120°.