Билет № 4 1. Высота, биссектриса, медиана треугольника (определения). 2. Теорема о свойстве катета, лежащего против угла в 30° (с доказательством). 3.Задача по теме " Признаки параллельности прямых". Один из внутренних накрест лежащих углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, равен 50°. Найдите градусные меры остальных углов.

Решение:

1. Высота, биссектриса, медиана треугольника (определения):

• Высота: Отрезок, проведённый из вершины треугольника перпендикулярно к противоположной стороне (или её продолжению).
• Биссектриса: Отрезок, проведённый из вершины треугольника, который делит угол при этой вершине пополам.
• Медиана: Отрезок, проведённый из вершины треугольника к середине противоположной стороны.

2. Теорема о свойстве катета, лежащего против угла в 30°:

Теорема: Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Доказательство:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где ∠C = 90°, ∠A = 30°, ∠B = 60°. Катет BC лежит против угла в 30°.

Отметим на продолжении катета BC точку D так, чтобы BC = CD. Соединим точки A и D. Рассмотрим треугольники ABC и ADC:

• BC = CD (по построению).
• AC — общая сторона.
• ∠BCA = ∠DCA = 90°.

По двум сторонам и углу между ними (II признак равенства треугольников), ∆ ABC = ∆ ADC. Следовательно:

• AB = AD.
• ∠BAC = ∠DAC = 30°.
• ∠ABC = ∠ADC = 60°.

Рассмотрим треугольник ABD. AB = AD, значит, он равнобедренный. Угол ∠BAD = ∠BAC + ∠DAC = 30° + 30° = 60°. Так как треугольник ABD равнобедренный и один из углов при основании равен 60°, то он равносторонний. Следовательно, AB = AD = BD.

Поскольку BD = BC + CD, а BC = CD, то BD = 2 * BC. Так как AB = BD, то AB = 2 * BC. Это означает, что катет BC равен половине гипотенузы AB.

3. Задача:

Дано: Две параллельные прямые пересечены третьей прямой. Один из внутренних накрест лежащих углов равен 50°.

Найти: Градусные меры остальных углов.

Решение:

При пересечении двух параллельных прямых секущей образуются пары углов:

• Внутренние накрест лежащие углы: равны.
• Соответственные углы: равны.
• Внутренние односторонние углы: в сумме дают 180°.

Пусть один внутренний накрест лежащий угол равен 50°. Тогда:

• Его внутренний накрест лежащий угол также равен 50°.

Эти два угла являются внутренними односторонними с другими двумя углами. Найдем их:

• 180° - 50° = 130°.

Значит, два других внутренних угла равны 130°.

Следовательно, образовались четыре угла: два по 50° и два по 130°. Все остальные углы (внешние, соответствующие) будут такими же.

Ответ: Два угла равны 50°, два угла равны 130°.