Билет №6. Задание № 1. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми. Задание № 2. Какие из следующих утверждений верны? 1) Через любые три точки проходит ровно одна прямая. 2) Сумма смежных углов равна 90°. 3) Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы составляют в сумме 180°, то эти две прямые параллельны. 4) Через любые две точки проходит не более одной прямой. Задание №3. Задание №4. Д АВС И Д А, В, С, равнобедренные треугольники с основаниями АС и А, С,, точки М и М, середины сторон ВС и В, С,. АВ=А,В,, и АМ= A,M,. Докажите, что ДАВС=Д А,B,C,.

Билет №6

Задание № 2. Верные утверждения:

1. Через любые три точки проходит ровно одна прямая.


2. Сумма смежных углов равна 180°, а не 90°.


3. Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны, то эти две прямые параллельны. (Утверждение о сумме 180° неверно для соответственных углов).


4. Через любые две точки проходит не более одной прямой.

Следовательно, верными являются утверждения № 1 и № 4.

Задание № 4. Доказательство равенства треугольников:

Дано:

• \( ╠ABC \) и \( ╠A_1B_1C_1 \) — равнобедренные треугольники с основаниями \( AC \) и \( A_1C_1 \) соответственно.


• \( M \) и \( M_1 \) — середины сторон \( BC \) и \( B_1C_1 \) соответственно.


• \( AB = A_1B_1 \)


• \( AM = A_1M_1 \)

Доказать: \( ╠ABC = ╠A_1B_1C_1 \)

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники \( ╠ABM \) и \( ╠A_1B_1M_1 \).


2. У нас дано, что \( AB = A_1B_1 \) и \( AM = A_1M_1 \).


3. Так как \( M \) и \( M_1 \) — середины сторон \( BC \) и \( B_1C_1 \) соответственно, то \( BM = \frac{1}{2} BC \) и \( B_1M_1 = \frac{1}{2} B_1C_1 \).


4. В равнобедренных треугольниках \( ╠ABC \) и \( ╠A_1B_1C_1 \) боковые стороны равны: \( AB = BC \) и \( A_1B_1 = B_1C_1 \).


5. Следовательно, \( BM = \frac{1}{2} AB \) и \( B_1M_1 = \frac{1}{2} A_1B_1 \).


6. Так как \( AB = A_1B_1 \), то \( BM = B_1M_1 \).


7. Теперь у нас есть три пары равных сторон в треугольниках \( ╠ABM \) и \( ╠A_1B_1M_1 \): \( AB = A_1B_1 \), \( AM = A_1M_1 \) и \( BM = B_1M_1 \).


8. По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), \( ╠ABM = ╠A_1B_1M_1 \).


9. Из равенства этих треугольников следует, что \( ∠ ABM = ∠ A_1B_1M_1 \).


10. Теперь рассмотрим \( ╠ABC \) и \( ╠A_1B_1C_1 \).


11. У нас есть:




• \( AB = A_1B_1 \) (по условию).


• \( ∠ ABC = ∠ A_1B_1C_1 \) (так как \( ∠ ABM = ∠ A_1B_1M_1 \)).


• \( BC = AB \) и \( B_1C_1 = A_1B_1 \) (так как треугольники равнобедренные).


• Следовательно, \( BC = B_1C_1 \).




12. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), \( ╠ABC = ╠A_1B_1C_1 \).

Что и требовалось доказать.