Билет №6, Задание №4. ΔABC и ΔA₁B₁C₁ — равнобедренные треугольники с основаниями AC и A₁C₁, точки M и M₁ — середины сторон BC и B₁C₁. AB = A₁B₁, и AM = A₁M₁. Докажите, что ΔABC = ΔA₁B₁C₁.

Решение:

Дано, что \( \Delta ABC \) и \( \Delta A_1B_1C_1 \) — равнобедренные треугольники с основаниями AC и A₁C₁. Это означает, что \( AB = BC \) и \( A_1B_1 = B_1C_1 \).

M — середина BC, M₁ — середина B₁C₁. Следовательно, BM = MC = \( \frac{1}{2} BC \) и B₁M₁ = M₁C₁ = \( \frac{1}{2} B_1C_1 \).

Из условия известно:

1. \( AB = A_1B_1 \)
2. \( AM = A_1M_1 \)

Рассмотрим треугольники ABM и A₁B₁M₁:

1. \( AB = A_1B_1 \) (по условию).
2. \( AM = A_1M_1 \) (по условию).
3. \( BM = \frac{1}{2} BC \) и \( B_1M_1 = \frac{1}{2} B_1C_1 \). Так как \( \Delta ABC \) и \( \Delta A_1B_1C_1 \) равнобедренные, то \( AB = BC \) и \( A_1B_1 = B_1C_1 \). Следовательно, \( AB = BC \implies BM = \frac{1}{2} AB \) и \( A_1B_1 = B_1C_1 \implies B_1M_1 = \frac{1}{2} A_1B_1 \).
4. Так как \( AB = A_1B_1 \), то \( \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} A_1B_1 \), следовательно \( BM = B_1M_1 \).

Таким образом, \( \Delta ABM = \Delta A_1B_1M_1 \) по трем сторонам (AB = A₁B₁, AM = A₁M₁, BM = B₁M₁).

Из равенства треугольников \( \Delta ABM \) и \( \Delta A_1B_1M_1 \) следует, что \( \angle ABM = \angle A_1B_1M_1 \). Углы \( \angle ABC \) и \( \angle A_1B_1C_1 \) являются углами при вершине равнобедренных треугольников, поэтому \( \angle ABC = \angle ABM \) и \( \angle A_1B_1C_1 = \angle A_1B_1M_1 \). Следовательно, \( \angle ABC = \angle A_1B_1C_1 \).

Теперь рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁:

1. \( AB = A_1B_1 \) (по условию).
2. \( BC = AB \) и \( B_1C_1 = A_1B_1 \), так как треугольники равнобедренные. Отсюда \( BC = B_1C_1 \).
3. \( \angle ABC = \angle A_1B_1C_1 \) (доказано выше).

Следовательно, \( \Delta ABC = \Delta A_1B_1C_1 \) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Доказано.