Билет №10

1. Определение средней линии треугольника. Доказать теорему о средней линии треугольника.

Определение средней линии треугольника: Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника.

Теорема о средней линии треугольника: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

Доказательство:

Пусть дан треугольник ABC, и MN - средняя линия, где M - середина AB, N - середина BC. Нужно доказать, что MN || AC и MN = 1/2 * AC.

1. Рассмотрим треугольники ABC и MBN. Угол B - общий.
2. Так как M и N - середины AB и BC соответственно, то BM = 1/2 * AB и BN = 1/2 * BC.
3. Следовательно, AB/BM = BC/BN = 2.
4. По второму признаку подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольники ABC и MBN подобны.
5. Из подобия следует, что угол BMN = углу BAC и угол BNM = углу BCA.
6. Так как соответствующие углы равны, то MN || AC (по признаку параллельности прямых).
7. Из подобия также следует, что MN/AC = BM/AB = 1/2.
8. Следовательно, MN = 1/2 * AC.

Таким образом, теорема о средней линии треугольника доказана.

2. Серединный перпендикуляр. Свойство серединного перпендикуляра к отрезку.

Определение серединного перпендикуляра: Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему.

Свойство серединного перпендикуляра: Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

3. АВ и ВС отрезки касательных, проведённых к окружности с центром О радиуса 6см. Найти периметр четырёхугольника АВСО, если угол АВС равен 60°.

Пусть дана окружность с центром O и радиусом 6 см. AB и BC - касательные к этой окружности, угол ABC = 60°. Нужно найти периметр четырёхугольника ABCO.

1. Так как AB и BC - касательные, то углы OBA и OBC - прямые (равны 90°).
2. Рассмотрим треугольник ABO. Он прямоугольный (угол OBA = 90°).
3. Угол ABO = 1/2 * угол ABC = 1/2 * 60° = 30°.
4. В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Значит, AO = 2 * BO.
5. Так как BO - радиус, то BO = 6 см.
6. Следовательно, AO = 2 * 6 = 12 см.
7. Треугольники ABO и CBO равны (по катету и углу). Значит, AB = BC.
8. По теореме Пифагора, AB = √(AO² - BO²) = √(12² - 6²) = √(144 - 36) = √108 = 6√3 см.
9. Периметр четырёхугольника ABCO равен AB + BC + CO + AO = 6√3 + 6√3 + 6 + 12 = 12√3 + 18 см.

Ответ: Периметр четырёхугольника ABCO равен 18 + 12√3 см.

4. Смежные стороны параллелограмма равны 32см и 26см., а один из его углов равен 150°. Найти площадь параллелограмма.

Пусть дан параллелограмм со сторонами a = 32 см и b = 26 см, и угол между ними α = 150°.

Площадь параллелограмма можно найти по формуле: S = a * b * sin(α).

В нашем случае:

S = 32 * 26 * sin(150°)

Так как sin(150°) = sin(180° - 30°) = sin(30°) = 1/2,

S = 32 * 26 * (1/2) = 16 * 26 = 416 см².

Ответ: Площадь параллелограмма равна 416 см².