Биссектриса и медиана, проведённые к боковым сторонам равнобедренного треугольника, перпендикулярны. Найдите основание этого треугольника в см, если его периметр равен 60 см.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC, и биссектриса BD и медиана BE, проведенные к боковой стороне AC, перпендикулярны. Обозначим основание AC = a, боковые стороны AB = BC = b. Так как BD - биссектриса, то $$\angle ABD = \angle DBC$$. Так как BD $$\perp$$ BE, то $$\angle DBE = 90^{\circ}$$. Рассмотрим треугольник BDE. Так как $$\angle BDE = 90^{\circ}$$, то $$\angle DBE + \angle BED = 90^{\circ}$$. Так как BE - медиана, то AE = EC = a/2. Так как биссектриса BD перпендикулярна медиане BE, то треугольник ABE равнобедренный, следовательно, AB = AE, то есть b = a/2. Периметр треугольника ABC равен P = AB + BC + AC = b + b + a = 2b + a. Так как b = a/2, то P = 2(a/2) + a = a + a = 2a. По условию P = 60 см, следовательно, 2a = 60, откуда a = 30. Тогда боковая сторона b = a/2 = 30/2 = 15 см. Основание треугольника равно a = 20 см. Ответ: 20