Биссектриса угла A равнобедренного треугольника ABC пересекает основание в точке M. Найдите длину отрезка AM, если периметры треугольников ABC и ABM равны 32 и 24 соответственно. В ответе укажите только число без наименования.

Пусть AB = BC = x, AC = y, AM = z, BM = MC = y/2 (так как AM - биссектриса и высота в равнобедренном треугольнике).

Периметр треугольника ABC равен:

$$P_{ABC} = AB + BC + AC = x + x + y = 2x + y = 32$$

Периметр треугольника ABM равен:

$$P_{ABM} = AB + BM + AM = x + \frac{y}{2} + z = 24$$

Выразим y из первого уравнения:

$$y = 32 - 2x$$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$$x + \frac{32 - 2x}{2} + z = 24$$ $$x + 16 - x + z = 24$$ $$z = 24 - 16$$ $$z = 8$$

Таким образом, длина отрезка AM равна 8.

Ответ: 8