3 Биссектриса угла А равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС, пересекла серединный перпендикуляр к стороне АС в точке О. Найдите ВО, если АО = 10 см.

Пошаговое решение:

• Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием BC.
• AO = 10 см.
• Серединный перпендикуляр к AC пересекает биссектрису угла A в точке O.
• Пусть серединный перпендикуляр пересекает AC в точке D. Тогда AD = DC и \(\angle ADO = 90^\circ\).
• Так как O лежит на серединном перпендикуляре, то AO = CO = 10 см.
• Рассмотрим треугольник AOC. Он равнобедренный, так как AO = CO.
• Так как AO - биссектриса, \(\angle BAO = \angle CAO\).
• Но \(\angle CAO = \angle ACO\), так как треугольник AOC равнобедренный.
• Значит, \(\angle BAO = \angle ACO\).
• \(\angle BAO = \angle BCO\).

Треугольник ABO = треугольнику CBO (по стороне AO=CO и двум прилежащим углам), следовательно BO - биссектриса угла B, значит BO является центром описанной окружности для треугольника ABC. BO = AO = CO.

Ответ: BO = 10 см.