23 Биссектриса угла А треугольника АВС делит медиану, проведённую из вершины В, в отношении 7:3, считая от вершины В. В каком отношении, считая от вершины С, эта биссектриса делит сторону ВС?

Пусть AD - биссектриса угла A треугольника ABC, BM - медиана, проведенная из вершины B, О - точка пересечения AD и BM.

По условию BO : OM = 7 : 3

Проведём ME || AD, где E ∈ BC. Рассмотрим треугольник BDA. По теореме Фалеса BE : EA = BO : OM = 7 : 3.

Рассмотрим треугольник CME. Т.к. ME || AD и AM = MC (BM - медиана), то CE = EA (по теореме Фалеса).

Таким образом, BC = BE + EC = BE + EA. Значит, BE : EA = 7 : 3, следовательно, BE : CE = 7 : 3.

По теореме о биссектрисе треугольника ABC имеем BD/DC = AB/AC.

Также по теореме Менелая для треугольника BCM и прямой AD: (BO/OM) * (MC/CA) * (AE/EB) = 1.

(7/3) * (1/2) * (3/7) = 1/2

Пусть биссектриса AD пересекает BC в точке K. Тогда по теореме о биссектрисе BK/KC = AB/AC.

Т.к. CE = EA = 3x, BE = 7x, то CA = 6x, BA = 7/3 CE = 7x/3

Тогда BK/KC = (7/3)/6 = 7/18

Ответ: 7:18