4. Биссектриса угла прямоугольника делит одну из его сторон на отрезки длиной 3 см и 8 см. Найдите площадь прямоугольника. Сколько решений имеет задача?

4. Рассмотрим прямоугольник, биссектриса угла которого делит одну из его сторон на отрезки длиной 3 см и 8 см.

Пусть биссектриса угла A прямоугольника ABCD пересекает сторону BC в точке E. Тогда BE = AB, так как угол BAE равен углу BEA (как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей AE).

Возможны два случая:

1) BE = 3 см. Тогда AB = 3 см, BC = BE + EC = 3 + 8 = 11 см. Площадь прямоугольника равна S = AB * BC = 3 * 11 = 33 см².

2) BE = 8 см. Тогда AB = 8 см, BC = BE + EC = 8 + 3 = 11 см. Площадь прямоугольника равна S = AB * BC = 8 * 11 = 88 см².

Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: 33 см², 88 см², 2 решения.