678 Биссектрисы АА₁ и ВВ₁ треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите углы АСМ и ВСМ, если: а) ZAMB = 136°; 6) ∠AMB = 111°.

а) ∠AMB = 136°

В треугольнике АМВ: ∠АМВ + ∠МАВ + ∠МВА = 180°.

Следовательно, ∠МАВ + ∠МВА = 180° - 136° = 44°.

Так как АА₁ и ВВ₁ — биссектрисы, то ∠А = 2 * ∠МАВ, ∠В = 2 * ∠МВА.

Тогда ∠А + ∠В = 2 * (∠МАВ + ∠МВА) = 2 * 44° = 88°.

В треугольнике АВС: ∠А + ∠В + ∠С = 180°.

Следовательно, ∠С = 180° - (∠А + ∠В) = 180° - 88° = 92°.

Так как СМ — не биссектриса угла С, углы АСМ и ВСМ не обязательно равны.

Предположим, что CM - биссектриса, тогда ∠ACM = ∠BCM = ∠C / 2 = 92° / 2 = 46°.

б) ∠AMB = 111°

В треугольнике АМВ: ∠АМВ + ∠МАВ + ∠МВА = 180°.

Следовательно, ∠МАВ + ∠МВА = 180° - 111° = 69°.

Так как АА₁ и ВВ₁ — биссектрисы, то ∠А = 2 * ∠МАВ, ∠В = 2 * ∠МВА.

Тогда ∠А + ∠В = 2 * (∠МАВ + ∠МВА) = 2 * 69° = 138°.

В треугольнике АВС: ∠А + ∠В + ∠С = 180°.

Следовательно, ∠С = 180° - (∠А + ∠В) = 180° - 138° = 42°.

Предположим, что CM - биссектриса, тогда ∠ACM = ∠BCM = ∠C / 2 = 42° / 2 = 21°.

Ответ: a) ∠ACM = ∠BCM = 46°; б) ∠ACM = ∠BCM = 21°.