Биссектрисы AD и BE треугольника ABC пересекаются в точке O, ∠A=78°, ∠B = 38°. Найдите угол AOE.

Решение:

1. В треугольнике ABC: ∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - (78° + 38°) = 180° - 116° = 64°.
2. AD и BE — биссектрисы, поэтому ∠OAE = ∠A / 2 = 78° / 2 = 39° и ∠OBE = ∠B / 2 = 38° / 2 = 19°.
3. В треугольнике AOE: ∠AOE = 180° - (∠OAE + ∠AEO). Угол ∠AEO является частью ∠AEB. В треугольнике ABE: ∠AEB = 180° - (∠A + ∠ABE) = 180° - (78° + 19°) = 180° - 97° = 83°.
4. Угол ∠AOE является смежным к углу ∠BOE в треугольнике BOE. В треугольнике BOE: ∠BOE = 180° - (∠OBE + ∠BEO). Угол ∠BEO = ∠AEB = 83°.
5. ∠BOE = 180° - (19° + 83°) = 180° - 102° = 78°.
6. Угол ∠AOE является смежным к ∠BOE, поэтому ∠AOE = 180° - ∠BOE = 180° - 78° = 102°.

Ответ: ∠AOE = 102°.