1.115. Биссектрисы двух углов треугольника пересекаются под углом 110°. Найдите третий угол треугольника.

Пусть углы треугольника будут α, β и γ. Биссектрисы углов α и β пересекаются под углом 110°. Обозначим точку пересечения биссектрис как O. Рассмотрим треугольник, образованный двумя биссектрисами и стороной треугольника (назовем этот треугольник AOB, где A и B - вершины углов α и β соответственно). Сумма углов в треугольнике AOB равна 180°.

Следовательно, $$\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} + 110^\circ = 180^\circ$$

$$\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$$

$$\alpha + \beta = 2 \times 70^\circ = 140^\circ$$

Сумма всех углов треугольника равна 180°:

$$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$$

$$140^\circ + \gamma = 180^\circ$$

$$\gamma = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$$

Ответ: Третий угол треугольника равен 40°.