17) Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке М, лежащей на стороне ВС. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если АВ = 5.

1. **Понимание задачи:** У нас есть параллелограмм ABCD, где биссектрисы углов A и D пересекаются в точке M на стороне BC. Нам дано, что AB = 5, и нужно найти периметр параллелограмма ABCD. 2. **Свойства параллелограмма и биссектрис:** * В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны: AB = CD, BC = AD. * Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180 градусам: \(\angle A + \angle D = 180^{\circ}\). * Биссектриса делит угол пополам. 3. **Анализ углов:** Поскольку AM и DM - биссектрисы углов A и D, то \(\angle MAD = \frac{1}{2} \angle A\) и \(\angle MDA = \frac{1}{2} \angle D\). Следовательно, \(\angle MAD + \angle MDA = \frac{1}{2} (\angle A + \angle D) = \frac{1}{2} (180^{\circ}) = 90^{\circ}\). Это означает, что треугольник AMD - прямоугольный с прямым углом при вершине M. 4. **Свойства углов и сторон:** Рассмотрим треугольник ABM. Угол BAM равен углу MAD (так как AM - биссектриса угла A). Также, угол BMA равен углу MAD, потому что они накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей AM. Следовательно, угол BAM равен углу BMA, что делает треугольник ABM равнобедренным, и AB = BM = 5. Аналогично, рассмотрим треугольник CDM. Угол CDM равен углу MDA (так как DM - биссектриса угла D). Также, угол CMD равен углу MDA, потому что они накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей DM. Следовательно, угол CDM равен углу CMD, что делает треугольник CDM равнобедренным, и CD = CM. Так как CD = AB = 5, то CM = 5. 5. **Нахождение стороны BC:** BC = BM + MC = 5 + 5 = 10. 6. **Нахождение периметра:** Периметр параллелограмма ABCD равен \(2 \cdot (AB + BC) = 2 \cdot (5 + 10) = 2 \cdot 15 = 30\). **Ответ:** Периметр параллелограмма ABCD равен **30**.