6. Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите АВ, если AF = 12, BF =9.

Рассмотрим треугольник АВF. Так как AF и BF - биссектрисы углов А и В, то углы FАВ и FВА равны половине углов А и В соответственно. Сумма углов А и В прилежащих к боковой стороне трапеции равна 180 градусам, следовательно, сумма половин этих углов равна 90 градусам. Значит угол АFВ = 90 градусов, и треугольник АВF - прямоугольный.

По теореме Пифагора: $$AB^2 = AF^2 + BF^2$$

$$AB = \sqrt{AF^2 + BF^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$$

Ответ: 15