3. Боковая поверхность правильной четырехугольной призмы 32 м², а полная поверхность 40 м². Найдите высоту.

Пусть (S_{бок}) - площадь боковой поверхности призмы, (S_{полн}) - площадь полной поверхности призмы, (S_{осн}) - площадь основания призмы, (h) - высота призмы, а (a) - сторона основания. Известно, что полная поверхность призмы равна сумме боковой поверхности и удвоенной площади основания: $$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$$ Выразим площадь основания: $$2S_{осн} = S_{полн} - S_{бок}$$ Подставим известные значения: $$2S_{осн} = 40 - 32 = 8$$ $$S_{осн} = 4 м^2$$ Так как призма четырехугольная и правильная, то в основании лежит квадрат. Следовательно, площадь основания $$S_{осн} = a^2$$, где (a) - сторона квадрата. Отсюда, $$a^2 = 4$$ $$a = 2 м$$ Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы равна $$S_{бок} = P_{осн} cdot h$$, где (P_{осн}) - периметр основания, а (h) - высота призмы. $$P_{осн} = 4a = 4 cdot 2 = 8 м$$ Тогда: $$32 = 8h$$ $$h = rac{32}{8} = 4 м$$ Ответ: Высота призмы равна 4 м.