16. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 15. Угол при вершине, противолежащий основанию, равен 120°. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника. Ответ:

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC = 15, угол B = 120°.

Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся теоремой синусов:

$$\frac{AC}{\sin{B}} = 2R$$, где R - радиус описанной окружности.

Найдем сторону AC по теореме косинусов:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{B}$$ $$AC^2 = 15^2 + 15^2 - 2 \cdot 15 \cdot 15 \cdot \cos{120°}$$ $$AC^2 = 225 + 225 - 450 \cdot (-\frac{1}{2})$$ $$AC^2 = 450 + 225 = 675$$ $$AC = \sqrt{675} = 15\sqrt{3}$$

Теперь найдем радиус описанной окружности:

$$\frac{15\sqrt{3}}{\sin{120°}} = 2R$$ $$2R = \frac{15\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$$ $$2R = 15 \cdot 2 = 30$$, где 2R - диаметр описанной окружности.

Ответ: 30