Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 17 см, а биссектриса, проведенная к основанию, — 15 см. Найдите площадь и периметр этого треугольника.

Решение:

1. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является также медианой и высотой.
2. Основание треугольника делится биссектрисой пополам. Пусть основание равно \( a \). Тогда половина основания равна \( \frac{a}{2} \).
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной (гипотенуза), биссектрисой (катет) и половиной основания (катет). По теореме Пифагора: \( 17^2 = 15^2 + (\frac{a}{2})^2 \)
4. \( 289 = 225 + (\frac{a}{2})^2 \)
5. \( (\frac{a}{2})^2 = 289 - 225 = 64 \)
6. \( \frac{a}{2} = \sqrt{64} = 8 \) см.
7. Основание треугольника \( a = 2 \cdot 8 = 16 \) см.
8. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту: \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 15 = 8 \cdot 15 = 120 \) см².
9. Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон: \( P = 17 + 17 + 16 = 50 \) см.

Ответ: Площадь 120 см², периметр 50 см.