Докажите, что треугольник является прямоугольным, если его стороны пропорциональны числам 5, 12 и 13.

Доказательство:

Пусть стороны треугольника равны \( 5x \), \( 12x \) и \( 13x \), где \( x \) — некоторое положительное число.

Проверим выполнение теоремы, обратной теореме Пифагора. Необходимо проверить, выполняется ли равенство для сторон треугольника:

\[ (5x)^2 + (12x)^2 = (13x)^2 \]

Рассмотрим левую часть равенства:

\[ (5x)^2 + (12x)^2 = 25x^2 + 144x^2 = 169x^2 \]

Рассмотрим правую часть равенства:

\[ (13x)^2 = 169x^2 \]

Так как \( 169x^2 = 169x^2 \), то левая часть равна правой части. Это означает, что для данного треугольника выполняется теорема, обратная теореме Пифагора.

Следовательно, треугольник, стороны которого пропорциональны числам 5, 12 и 13, является прямоугольным.

Ответ: Треугольник является прямоугольным, так как квадрат самой длинной стороны равен сумме квадратов двух других сторон (\( (5x)^2 + (12x)^2 = (13x)^2 \)).