5. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна её меньшему основанию, угол при основании равен 60°, большее основание равно 12. Найдите радиус окружности, описанной вокруг данной трапеции.

Дано: Равнобедренная трапеция ABCD, AB = CD = BC, ∠BAD = 60°, AD = 12. Найти: Радиус описанной окружности R. Решение: 1. Так как боковая сторона равна меньшему основанию (AB = CD = BC), а угол при основании равен 60°, то треугольник ABC – равносторонний. Следовательно, BC = AB = CD = x. 2. Проведём высоты BH и CF из вершин B и C к основанию AD. Тогда AH = FD. 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нём ∠BAH = 60°, следовательно, ∠ABH = 30°. Тогда AH = AB * cos(60°) = x * (1/2) = x/2. 4. Так как AD = AH + HF + FD и HF = BC = x, то 12 = x/2 + x + x/2 = 2x. Отсюда x = 6. 5. Таким образом, AB = BC = CD = 6. 6. Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся формулой: \[R = \frac{abc}{4S}\] где a, b, c - стороны треугольника, S - площадь треугольника. В нашем случае, можно рассмотреть треугольник ABD, где AB = 6, AD = 12, BD = \(\sqrt{AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot cos(60^\circ)}\) = \(\sqrt{6^2 + 12^2 - 2 \cdot 6 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2}}\) = \(\sqrt{36 + 144 - 72}\) = \(\sqrt{108}\) = 6\(\sqrt{3}\) 7. Для нахождения площади трапеции, найдём высоту BH = AB * sin(60°) = 6 * (\(\sqrt{3}/2\)) = 3\(\sqrt{3}\). Площадь трапеции ABCD равна S = (BC + AD) / 2 * BH = (6 + 12) / 2 * 3\(\sqrt{3}\) = 9 * 3\(\sqrt{3}\) = 27\(\sqrt{3}\) 8. Рассмотрим треугольник ABD. Его площадь можно найти как половину произведения двух сторон на синус угла между ними: S = 1/2 * AB * AD * sin(60°) = 1/2 * 6 * 12 * \(\sqrt{3}/2\) = 18\(\sqrt{3}\) 9. Теперь найдём радиус описанной окружности вокруг треугольника ABD: R = (6 * 12 * 6\(\sqrt{3}\)) / (4 * 18\(\sqrt{3}\)) = (432\(\sqrt{3}\)) / (72\(\sqrt{3}\)) = 6 Ответ: 6