1. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна \(\sqrt{13}\) м, а её основания равны 3 м и 4 м. Найдите диагональ трапеции. 2. Около равнобедренного треугольника ABC с основанием AC = 12 см описана окружность, радиус которой 10 см. Найдите площадь треугольника ABC.

Задача 1:

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AB = CD = \(\sqrt{13}\), BC = 3, AD = 4. Нужно найти диагональ AC.

1. Проведем высоты BH и CF к основанию AD. Тогда AH = FD = \(\frac{AD - BC}{2} = \frac{4 - 3}{2} = \frac{1}{2}\).

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора найдем высоту BH:

$$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{(\sqrt{13})^2 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{13 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{52 - 1}{4}} = \sqrt{\frac{51}{4}} = \frac{\sqrt{51}}{2}$$

3. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. Найдем AC:

$$AC = \sqrt{AH^2 + CH^2} = \sqrt{(AD - FD)^2 + BH^2} = \sqrt{(4 - \frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{51}}{2})^2} = \sqrt{(\frac{7}{2})^2 + \frac{51}{4}} = \sqrt{\frac{49}{4} + \frac{51}{4}} = \sqrt{\frac{100}{4}} = \sqrt{25} = 5$$

Ответ: Диагональ трапеции равна 5 м.

Задача 2:

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AC = 12 см и радиус описанной окружности R = 10 см. Нужно найти площадь треугольника ABC.

1. Обозначим сторону AB = BC = x. Площадь треугольника ABC можно найти по формуле:

$$S = \frac{abc}{4R}$$, где a, b, c - стороны треугольника, R - радиус описанной окружности.

В нашем случае S = \(\frac{x * x * 12}{4 * 10} = \frac{3x^2}{10}\)

2. Также площадь можно найти как половину произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию. Пусть BH - высота к основанию AC. Тогда AH = HC = 6.

По теореме Пифагора из треугольника ABH:

$$BH = \sqrt{x^2 - 6^2} = \sqrt{x^2 - 36}$$

Тогда S = \(\frac{1}{2} * AC * BH = \frac{1}{2} * 12 * \sqrt{x^2 - 36} = 6\sqrt{x^2 - 36}\)

3. Приравниваем два выражения для площади:

$$\frac{3x^2}{10} = 6\sqrt{x^2 - 36}$$

$$x^2 = 20\sqrt{x^2 - 36}$$

$$x^4 = 400(x^2 - 36)$$

$$x^4 - 400x^2 + 14400 = 0$$

Пусть (t = x^2), тогда

$$t^2 - 400t + 14400 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D = 400^2 - 4 * 14400 = 160000 - 57600 = 102400$$

$$\sqrt{D} = 320$$

$$t_1 = \frac{400 + 320}{2} = 360$$

$$t_2 = \frac{400 - 320}{2} = 40$$

Тогда (x_1 = \sqrt{360} = 6\sqrt{10}) или (x_2 = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}\)

4. Найдем BH для каждого случая:

Для (x_1 = 6\sqrt{10}\): (BH = \sqrt{(6\sqrt{10})^2 - 36} = \sqrt{360 - 36} = \sqrt{324} = 18)

Для (x_2 = 2\sqrt{10}\): (BH = \sqrt{(2\sqrt{10})^2 - 36} = \sqrt{40 - 36} = \sqrt{4} = 2)

5. Найдем площадь для каждого случая:

(S_1 = \frac{1}{2} * 12 * 18 = 6 * 18 = 108 \text{ см}^2)

(S_2 = \frac{1}{2} * 12 * 2 = 6 * 2 = 12 \text{ см}^2)

Ответ: Площадь треугольника ABC равна 108 см² или 12 см².