1. Боковое ребро правильной треугольной призмы равно 5 см, а диагональ боковой грани равна 13 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы. 2. Основанием прямой призмы является ромб с острым углом 60° и меньшей диагональю 6 см. Площадь боковой поверхности призмы 72√3 см². Найдите площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и большую диагональ основания. 3. диагональ основания.

Решение задачи №1: 1. Находим сторону основания призмы. Т.к. призма правильная треугольная, то в основании лежит равносторонний треугольник. Боковая грань - прямоугольник. Зная диагональ прямоугольника и боковое ребро (оно же высота призмы), можно найти сторону основания по теореме Пифагора: Пусть $$a$$ - сторона основания, $$h$$ - боковое ребро, $$d$$ - диагональ боковой грани. Тогда, по теореме Пифагора: $$a = \sqrt{d^2 - h^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$$ см. 2. Находим площадь боковой поверхности призмы: $$S_{бок} = P_{осн} * h$$, где $$P_{осн}$$ - периметр основания, $$h$$ - высота призмы (боковое ребро). $$P_{осн} = 3a = 3 * 12 = 36$$ см. $$S_{бок} = 36 * 5 = 180$$ см². 3. Находим площадь основания призмы: Т.к. в основании лежит равносторонний треугольник, то его площадь можно найти по формуле: $$S_{осн} = \frac{a^2 * \sqrt{3}}{4} = \frac{12^2 * \sqrt{3}}{4} = \frac{144 * \sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}$$ см². 4. Находим площадь полной поверхности призмы: $$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 180 + 2 * 36\sqrt{3} = 180 + 72\sqrt{3}$$ см². Ответ: Площадь боковой поверхности: 180 см², площадь полной поверхности: $$180 + 72\sqrt{3}$$ см². Решение задачи №2: 1. Находим сторону ромба. Т.к. в основании ромб с острым углом 60°, то меньшая диагональ является стороной ромба (ромб состоит из двух равносторонних треугольников). Значит, сторона ромба равна 6 см. 2. Находим высоту призмы. $$S_{бок} = P_{осн} * h$$, где $$P_{осн}$$ - периметр основания, $$h$$ - высота призмы. $$P_{осн} = 4 * 6 = 24$$ см. $$h = \frac{S_{бок}}{P_{осн}} = \frac{72\sqrt{3}}{24} = 3\sqrt{3}$$ см. 3. Находим большую диагональ основания. В ромбе диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. Пусть $$d_1$$ - меньшая диагональ, $$d_2$$ - большая диагональ, $$a$$ - сторона ромба. Тогда, по теореме Пифагора: $$(\frac{d_2}{2})^2 + (\frac{d_1}{2})^2 = a^2$$ $$(\frac{d_2}{2})^2 = a^2 - (\frac{d_1}{2})^2$$ $$(\frac{d_2}{2})^2 = 6^2 - (\frac{6}{2})^2 = 36 - 9 = 27$$ $$\frac{d_2}{2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$$ $$d_2 = 2 * 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$$ см. 4. Находим площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и большую диагональ основания. Сечение представляет собой прямоугольник со сторонами $$h$$ (высота призмы) и $$d_2$$ (большая диагональ основания). $$S_{сеч} = h * d_2 = 3\sqrt{3} * 6\sqrt{3} = 18 * 3 = 54$$ см². Ответ: Площадь сечения: 54 см². Решение задачи №3: 1. В основании ромб со стороной 6 и острым углом 60 градусов. Большая диагональ ромба делит его на 2 равносторонних треугольника. Поэтому большая диагональ равна стороне ромба, то есть 6. Меньшая диагональ ромба является высотой равностороннего треугольника со стороной 6. Ее можно найти по формуле $$d = a\sqrt{3}$$, где а это половина диагонали. Тогда меньшая диагональ равна $$2a=2*3=6\sqrt{3}$$