Боковое ребро правильной усечённой треугольной пирамиды наклонено к плоскости основания под углом 30°. Найди высоту пирамиды, если стороны оснований пирамиды равны 5 и 9.

Для начала нужно понять, что такое правильная усечённая треугольная пирамида. Это пирамида, у которой основания - правильные треугольники (т.е. равносторонние), и боковые грани - равнобедренные трапеции. Пусть у нас есть усечённая пирамида ABC A'B'C', где ABC - большее основание со стороной 9, а A'B'C' - меньшее основание со стороной 5. Боковое ребро, например AA', наклонено к плоскости основания под углом 30°. Это означает, что угол между AA' и его проекцией на плоскость ABC равен 30°. 1. Найдём разницу между радиусами описанных окружностей. Так как основания - правильные треугольники, радиус описанной окружности можно найти по формуле: (R = rac{a}{sqrt{3}}), где a - сторона треугольника. Для большего основания: (R_1 = rac{9}{sqrt{3}} = 3sqrt{3}) Для меньшего основания: (R_2 = rac{5}{sqrt{3}} = rac{5sqrt{3}}{3}) Разница радиусов: (\Delta R = R_1 - R_2 = 3sqrt{3} - rac{5sqrt{3}}{3} = rac{9sqrt{3} - 5sqrt{3}}{3} = rac{4sqrt{3}}{3}) 2. Найдём высоту пирамиды. Пусть высота пирамиды равна h. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой h, разницей радиусов \(\Delta R\) и боковым ребром AA'. Угол между AA' и \(\Delta R\) равен 30°. Используем тангенс угла 30°: (\tan(30°) = rac{h}{\Delta R}) Мы знаем, что (\tan(30°) = rac{1}{sqrt{3}}). Тогда: \[rac{1}{sqrt{3}} = \frac{h}{\frac{4sqrt{3}}{3}}\] \[h = \frac{1}{sqrt{3}} \cdot \frac{4sqrt{3}}{3} = \frac{4}{3}\] Таким образом, высота пирамиды равна \(\frac{4}{3}\). Ответ: \(\frac{4}{3}\)