Боковые ребра треугольной пирамиды SA,SB,SC взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 5. Найдите произведение высоты пирамиды, проведенной к основанию АВС на \(\sqrt{3}\).

Рассмотрим треугольную пирамиду SABC, у которой боковые ребра SA, SB, SC взаимно перпендикулярны и равны 5. Пусть высота пирамиды, проведенная к основанию ABC, равна h. Необходимо найти произведение \(h\cdot \sqrt{3}\). 1. **Объем пирамиды:** Так как SA, SB, SC взаимно перпендикулярны, объем пирамиды можно вычислить как: \[V = \frac{1}{6} \cdot SA \cdot SB \cdot SC = \frac{1}{6} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = \frac{125}{6}\] 2. **Площадь основания ABC:** Треугольник ABC является равносторонним, поскольку SA = SB = SC. Сторону основания (a) можно найти по теореме Пифагора, рассмотрев треугольник ASB (или BSC, ASC), где SA и SB - катеты, а AB - гипотенуза: \[AB = \sqrt{SA^2 + SB^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\] Тогда площадь основания ABC (равностороннего треугольника) равна: \[S_{ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(5\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{50\sqrt{3}}{4} = \frac{25\sqrt{3}}{2}\] 3. **Высота пирамиды:** Объем пирамиды также можно выразить через площадь основания и высоту: \[V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot h\] Подставим известные значения и выразим h: \[\frac{125}{6} = \frac{1}{3} \cdot \frac{25\sqrt{3}}{2} \cdot h\] \[h = \frac{125}{6} \cdot \frac{3 \cdot 2}{25\sqrt{3}} = \frac{125 \cdot 6}{6 \cdot 25\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}}\] 4. **Произведение высоты на \(\sqrt{3}\):** Найдём произведение высоты на \(\sqrt{3}\): \[h \cdot \sqrt{3} = \frac{5}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = 5\] **Ответ:** 5