Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 10 и 26, а основание BC равно 1. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

Пусть основания трапеции — \(AD\) и \(BC\), причём \(BC=1\). Введём координаты: \(D=(0,0)\), \(A=(L,0)\), \(C=(x,h)\), \(B=(x+1,h)\). Тогда \(CD=26\), \(AB=10\), а высота трапеции равна \(h\).

Середина \(AB\) имеет координаты \(M=((L+x+1)/2,h/2)\). Поскольку она лежит на биссектрисе угла \(ADC\), её расстояния до прямых \(AD\) и \(DC\) равны.

Расстояние от \(M\) до \(AD\) равно \(h/2\). Так как \(CD=26\), расстояние от \(M\) до \(DC\) равно \(h(L+1)/52\). Приравниваем расстояния: \(h/2=h(L+1)/52\), откуда \(L=25\).

Найдём высоту. Из длин боковых сторон:

\(x^2+h^2=26^2\),
\((x+1-25)^2+h^2=10^2\).

Вычитаем второе равенство из первого: \(x^2-(x-24)^2=576\), откуда \(x=24\). Тогда \(h^2=26^2-24^2=100\), то есть \(h=10\).

Площадь трапеции:

\(S=\dfrac{AD+BC}{2}\cdot h=\dfrac{25+1}{2}\cdot10=130\).

Ответ: 130.