12. Боковые стороны АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС равны 2, а угол между ними 45°. Докажите, что основание АС больше 1.

Ответ: Доказано.

1. Теорема косинусов: \[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot cos(∠B)\]
2. Подставляем значения:\[AC^2 = 2^2 + 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot cos(45^{\circ})\]\[AC^2 = 4 + 4 - 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\]\[AC^2 = 8 - 4\sqrt{2}\]\[AC^2 ≈ 8 - 4 \cdot 1.414 = 8 - 5.656 = 2.344\]
3. Значит, AC = √2.344 ≈ 1.53.
4. 1. 53 > 1.
5. Следовательно, АС > 1.

Ответ: Доказано.