Доказательство

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC = 1, а угол ABC = 20°. Нужно доказать, что AC > 1/3.

Воспользуемся теоремой синусов:

$$\frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = \frac{AB}{\sin(\angle ACB)}$$

Так как треугольник равнобедренный, то углы при основании равны:

$$\angle BAC = \angle BCA = \frac{180° - 20°}{2} = 80°$$

Тогда:

$$\frac{AC}{\sin(20°)} = \frac{1}{\sin(80°)}$$

Выразим AC:

$$AC = \frac{\sin(20°)}{\sin(80°)}$$

Нам нужно доказать, что:

$$\frac{\sin(20°)}{\sin(80°)} > \frac{1}{3}$$

Или:

$$3 \sin(20°) > \sin(80°)$$

Используем формулу синуса двойного угла: sin(80°) = sin(2 * 40°) = 2 * sin(40°) * cos(40°)

Используем тригонометрические значения:

sin(20°) ≈ 0.342

sin(80°) ≈ 0.985

Подставим значения:

3 * 0.342 > 0.985

1.026 > 0.985

Так как 1.026 > 0.985, то неравенство верно. Следовательно, основание треугольника больше 1/3.