Предложение "built a nic" требует дополнения. Среди предложенных вариантов 'home', 'homeless', 'homelessness', наиболее логичным продолжением фразы, предполагающей строительство чего-то приятного, является 'home'. Таким образом, фраза "built a nice home" (построили хороший дом) имеет смысл. Варианты 'homeless' и 'homelessness' не подходят по смыслу.
Ответ: home