C2. BK – биссектриса угла АВС, АС — биссектриса угла ВАЕ, угол АКВ прямой. Какую длину должен иметь отрезок АЕ, чтобы прямые АВ и СЕ были параллельными?

Для решения этой задачи необходимо понять, при каком условии прямые AB и CE будут параллельны. Поскольку AC - биссектриса угла BAE, то ∠BAC = ∠CAE. Так как BK - биссектриса угла ABC, то ∠ABK = ∠KBC. Угол AKB прямой, то есть ∠AKB = 90°.

Для того чтобы AB и CE были параллельны, необходимо, чтобы ∠BAC = ∠ACE (накрест лежащие углы) или чтобы ∠BAE + ∠AEC = 180° (сумма односторонних углов).

Так как ∠AKB = 90°, то в треугольнике ABK, ∠BAK + ∠ABK = 90°. Обозначим ∠BAC = α, тогда ∠CAE = α. Обозначим ∠ABK = β, тогда ∠KBC = β.

Для параллельности AB и CE нужно, чтобы ∠ACE = ∠BAC = α. Тогда ∠BCA + ∠ACE = ∠BCA + α. Поскольку ∠AKB = 90°, ∠ACB = 90° - ∠KBC = 90° - β.

Тогда для параллельности необходимо, чтобы ∠ACE = α. Но у нас уже есть условие, что ∠CAE = α. Таким образом, треугольник ACE должен быть равнобедренным с AC = CE.

Если ∠BAC = ∠ACE, то ∠CAE = ∠ACE = α. Это означает, что треугольник ACE равнобедренный и AE = CE. Следовательно, чтобы AB и CE были параллельны, длина AE должна равняться длине AC, то есть AE = AC.

Ответ: Отрезок AE должен иметь длину, равную длине отрезка AC.