C-12

1.

Пусть сторона квадрата равна $$a = 1$$.

1) $$AO \cdot BD = |AO| \cdot |BD| \cdot \cos(AO, BD)$$. Т.к. диагонали квадрата перпендикулярны, то $$\cos 90^\circ = 0$$. Следовательно, $$AO \cdot BD = 0$$.

2) $$CO \cdot CD = |CO| \cdot |CD| \cdot \cos(CO, CD)$$. Длина диагонали квадрата равна $$a\sqrt{2} = \sqrt{2}$$. Тогда $$CO = \frac{\sqrt{2}}{2}$$. $$|CD| = 1$$. Угол между векторами $$CO$$ и $$CD$$ равен $$180^\circ$$, следовательно, $$\cos 180^\circ = -1$$. Тогда, $$CO \cdot CD = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 \cdot (-1) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$.

3) $$AB \cdot DB = |AB| \cdot |DB| \cdot \cos(AB, DB)$$. $$|AB| = 1$$, $$|DB| = \sqrt{2}$$. Угол между векторами $$AB$$ и $$DB$$ равен $$135^\circ$$. $$AB \cdot DB = 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos 135^\circ = \sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -1$$.

2.

Пусть $$\vec{a} = (-1; 3)$$ и $$\vec{b} = (2; 1)$$. Тогда $$3\vec{b} = (6; 3)$$.

Угол $$\varphi$$ между векторами $$\vec{a}$$ и $$3\vec{b}$$ можно найти по формуле:

$$\cos \varphi = \frac{\vec{a} \cdot 3\vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |3\vec{b}|} = \frac{(-1) \cdot 6 + 3 \cdot 3}{\sqrt{(-1)^2 + 3^2} \cdot \sqrt{6^2 + 3^2}} = \frac{-6 + 9}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{45}} = \frac{3}{\sqrt{450}} = \frac{3}{\sqrt{225 \cdot 2}} = \frac{3}{15\sqrt{2}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10}$$ $$\varphi = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{10}\right) \approx 81.87^\circ$$

Ответ: 1) 0; $$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$; -1. 2) $$\approx 81.87^\circ$$