C1. Найдите значение выражения \( \frac{x-3}{x^2+9} \cdot \left( \frac{x+3}{x-3} + \frac{x-3}{x+3} \right) \) при \( x = -3, 4 \).

Решение:

Дано выражение: \( \frac{x-3}{x^2+9} \cdot \left( \frac{x+3}{x-3} + \frac{x-3}{x+3} \right) \)

Приведём дроби в скобках к общему знаменателю \( (x-3)(x+3) = x^2 - 9 \):

\(\begin{align*}\) \(\frac{x+3}{x-3}\) + \(\frac{x-3}{x+3}\) &= \(\frac{(x+3)^2 + (x-3)^2}{(x-3)(x+3)}\) \\ &= \(\frac{(x^2 + 6x + 9) + (x^2 - 6x + 9)}{x^2 - 9}\) \\ &= \(\frac{2x^2 + 18}{x^2 - 9}\) \(\end{align*}\)

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

\(\begin{align*}\) \(\frac{x-3}{x^2+9}\) \(\cdot\) \(\left\)\(\frac{2x^2 + 18}{x^2 - 9} \right\) &= \(\frac{x-3}{x^2+9}\) \(\cdot\) \(\frac{2(x^2+9)}{x^2 - 9}\) \(\end{align*}\)

Сократим \( x^2+9 \):

\(\begin{align*}\) &= \(\frac{x-3}{1}\) \(\cdot\) \(\frac{2}{x^2 - 9}\) \\ &= \(\frac{2(x-3)}{(x-3)(x+3)}\) \(\end{align*}\)

Сократим \( x-3 \) (при условии, что \( x \neq 3 \)):

\(\begin{align*}\) &= \(\frac{2}{x+3}\) \(\end{align*}\)

Теперь подставим \( x = -3.4 \):

\(\begin{align*}\) \(\frac{2}{-3.4+3}\) &= \(\frac{2}{-0.4}\) \\ &= \(\frac{20}{-4}\) \\ &= -5 \(\end{align*}\)

Ответ: -5.