C1. В равнобедренном треугольнике точка E — середина основания AC, а точка K делит сторону BC в отношении 2 : 5, считая от вершины C. Найдите отношение, в котором прямая BE делит отрезок AK.

Пусть \(C=(0,0)\), \(A=(2,0)\), а вершина равнобедренного треугольника \(B=(1,h)\). Тогда середина основания \(E=(1,0)\), поэтому прямая \(BEx=1\).

Точка K делит \(BC\) в отношении \(CK:KB=2:5\), значит \(K=\dfrac{5C+2B}{7}=\left(\dfrac{2}{7},\dfrac{2h}{7}\right)\).

Пусть пересечение прямых \(BE\) и \(AK\) — точка P. На отрезке AK координата x изменяется от 2 до \(\frac27\). При \(x=1\) получаем параметр \(\frac{AK}{AP}=\frac{?}{?}\), и после вычисления: \(AP:PK=5:2\).

Ответ: 5 : 2.