C2. ABCD — трапеция, в которой ∠A = 90°, ∠BCA = 45°, ∠ACD = 90°, AC = a. Найдите величины \(|\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CD}|\) и \(|\overrightarrow{CB}|-|\overrightarrow{CA}|+|\overrightarrow{CD}|\).

Поскольку ABCD — трапеция, \(BC\parallel AD\). Из \(\angle A=90°\) следует, что \(AB\perp BC\), поэтому треугольник ABC прямоугольный при B. При \(\angle BCA=45°\) он равнобедренный прямоугольный, и \(|\overrightarrow{CB}|=|\overrightarrow{AB}|=\frac{a}{\sqrt{2}}\), поскольку гипотенуза \(AC=a\).

Выберем координаты \(A=(0,0)\), \(C=(\frac{a}{\sqrt{2}},\frac{a}{\sqrt{2}})\), \(B=(0,\frac{a}{\sqrt{2}})\). Так как \(AD\) горизонтальна и \(CD\perp AC\), получаем \(D=(a\sqrt{2},0)\). Тогда \(\overrightarrow{CB}=(-\frac{a}{\sqrt{2}},0)\), \(\overrightarrow{CA}=(-\frac{a}{\sqrt{2}},-\frac{a}{\sqrt{2}})\), а \(\overrightarrow{CD}=(\frac{a}{\sqrt{2}},-\frac{a}{\sqrt{2}})\).

Тогда \(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CD}=(\frac{a}{\sqrt{2}},0)\), поэтому \(|\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CD}|=\frac{a}{\sqrt{2}}\).

Кроме того, \(|\overrightarrow{CA}|=a\) и \(|\overrightarrow{CD}|=a\). Значит, \(|\overrightarrow{CB}|-|\overrightarrow{CA}|+|\overrightarrow{CD}|=\frac{a}{\sqrt{2}}-a+a=\frac{a}{\sqrt{2}}\).

Ответ: обе величины равны \(\frac{a}{\sqrt{2}}\).