C2. В прямоугольном треугольнике АВС (∠C = 90°). На катете АС выбрана точка D так, что CD в 2 раза меньше BD, BD=AD. Найдите биссектрису угла В, если CD меньше АД на 25 см.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Обозначение неизвестных. Пусть CD = x. Так как CD в 2 раза меньше BD, то BD = 2x. По условию BD = AD, значит AD = 2x.
2. Шаг 2: Находим длину AC. AC = AD + CD = 2x + x = 3x.
3. Шаг 3: Применение теоремы Пифагора к треугольнику BCD. \( BC^2 + CD^2 = BD^2 \)
   \( BC^2 + x^2 = (2x)^2 \)
   \( BC^2 + x^2 = 4x^2 \)
   \( BC^2 = 3x^2 \)
   \( BC = \sqrt{3}x \).
4. Шаг 4: Использование условия CD меньше AD на 25 см.
   AD - CD = 25
   2x - x = 25
   x = 25 см.
5. Шаг 5: Находим длины сторон.
   CD = x = 25 см.
   BD = 2x = 50 см.
   AD = 2x = 50 см.
   AC = 3x = 75 см.
   BC = \( \sqrt{3}x = 25\sqrt{3} \) см.
6. Шаг 6: Нахождение угла B. В прямоугольном треугольнике ABC, \( \tan(\angle B) = \frac{AC}{BC} = \frac{75}{25\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \).
   Следовательно, \( \angle B = 60^{\circ} \).
7. Шаг 7: Нахождение биссектрисы угла B. Биссектриса угла B делит угол B на два равных угла по 30°. Пусть BL — биссектриса угла B, L лежит на AC.
8. Шаг 8: Применение теоремы о биссектрисе. Теорема о биссектрисе гласит, что биссектриса делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон: \( AL/LC = AB/BC \).
   Найдем AB по теореме Пифагора: \( AB^2 = AC^2 + BC^2 = 75^2 + (25\sqrt{3})^2 = 5625 + 625 \times 3 = 5625 + 1875 = 7500 \)
   \( AB = \sqrt{7500} = \sqrt{2500 \times 3} = 50\sqrt{3} \) см.
   \( AL/LC = 50\sqrt{3} / (25\sqrt{3}) = 2 \).
   Так как AL + LC = AC = 75 см, и AL = 2 LC, то 2 LC + LC = 75 => 3 LC = 75 => LC = 25 см.
   AL = 50 см.
9. Шаг 9: Нахождение длины биссектрисы BL. В треугольнике ABL, \( \angle BAL = \angle A \). В прямоугольном треугольнике ABC, \( \tan(\angle A) = BC/AC = (25\sqrt{3})/75 = \sqrt{3}/3 \). Следовательно, \( \angle A = 30^{\circ} \).
   В треугольнике ABL, \( \angle ALB = 180^{\circ} - \angle A - \angle ABL = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 30^{\circ} = 120^{\circ} \).
   Применим теорему синусов к треугольнику ABL: \( BL / \sin(\angle A) = AL / \sin(\angle ABL) \)
   \( BL / \sin(30^{\circ}) = 50 / \sin(30^{\circ}) \).
   Отсюда BL = 50 см.
10. Шаг 10: Альтернативный метод нахождения биссектрисы (формула длины биссектрисы). Длина биссектрисы \( l_b = \frac{2ac}{a+c} \cos(B/2) \), где a=BC, c=AB, B= \(\angle\) ABC.
    \( l_b = \frac{2(25\sqrt{3})(50\sqrt{3})}{(25\sqrt{3})+(50\sqrt{3})} \cos(60^{\circ}/2) \)
    \( l_b = \frac{2 \times 25 \times 50 \times 3}{75\sqrt{3}} \cos(30^{\circ}) \)
    \( l_b = \frac{7500}{75\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \)
    \( l_b = \frac{100}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 50 \) см.

Ответ: 50 см