C4. У Ильи 10 друзей. Однажды он решил угостить их конфетами. Первому он отдал 1/12 конфет, что у него были, и ещё 1/12 конфеты, второму — 1/11 того, что осталось, плюс 1/11 конфеты, …, 10-му он дал 1/3 того, что осталось, и ещё 1/3 конфеты. В результате у Ильи осталась только одна конфета. Сколько конфет у него было изначально?

Решим задачу с конца. Если перед угощением очередного друга у Ильи было N конфет, а доля, которую он отдал, равна 1/k, то после угощения осталось N − N/k − 1/k = ((k − 1)N − 1)/k.

У последнего друга k = 3. После угощения осталась 1 конфета, значит, до него было (3 · 1 + 1)/2 = 2 конфеты.

Двигаясь назад, для предыдущих друзей получаем:

При k = 4: (4 · 2 + 1)/3 = 3.

При k = 5: (5 · 3 + 1)/4 = 4. Далее аналогично: до друзей с k = 6, 7, …, 12 у Ильи было соответственно 5, 6, …, 11 конфет.

Ответ: изначально у Ильи было 11 конфет.