CCIV. Два квадрата 3х3 и 4х4 разрезать каждый на две части так, чтобы из полученных четырех кусков можно было бы сложить квадрат 5х5.

Решение:

Задача состоит в том, чтобы разрезать два квадрата (3x3 и 4x4) на четыре части и из этих частей составить один квадрат 5x5. Общая площадь исходных квадратов равна сумме площадей их частей. Площадь квадрата 3x3 равна \( 3^2 = 9 \). Площадь квадрата 4x4 равна \( 4^2 = 16 \). Общая площадь равна \( 9 + 16 = 25 \). Площадь квадрата 5x5 равна \( 5^2 = 25 \). Таким образом, площади совпадают, и задача выполнима.

Разрезание квадрата 3x3:

Разрежем квадрат 3x3 по диагонали, чтобы получить два равных прямоугольных треугольника.

Разрезание квадрата 4x4:

Разрежем квадрат 4x4 также по диагонали, чтобы получить два равных прямоугольных треугольника.

Складывание квадрата 5x5:

Из полученных четырех треугольников (два больших и два меньших) можно составить квадрат 5x5. Для этого расположим их следующим образом:

1. Два меньших треугольника (от квадрата 3x3) располагаем так, чтобы их прямые углы находились в центре будущего квадрата 5x5, а гипотенузы образовывали бы диагональ.
2. Два больших треугольника (от квадрата 4x4) располагаем по углам, прикладывая их катеты к гипотенузам меньших треугольников.

В результате получится квадрат со стороной 5.

Ответ: Квадраты 3x3 и 4x4 разрезаются по диагонали на два равных треугольника каждый. Полученные четыре треугольника складываются в квадрат 5x5.