Часть 2. Практические задания 1. Даны векторы а = (2, -1, 3) и b = (4, 0, -2). Найдите: а) Длину вектора а; б) Скалярное произведение а и b; в) Угол между векторами.

Часть 2. Практические задания

Задание 1

Даны векторы \(\vec{a} = (2, -1, 3)\) и \(\vec{b} = (4, 0, -2)\).

1. а) Длина вектора а:

   Длина вектора \(\vec{a}\) находится по формуле: \( |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \).
   \( |\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} \).

2. б) Скалярное произведение а и b:

   Скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) находится по формуле: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z \).
   \( \vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(4) + (-1)(0) + (3)(-2) = 8 + 0 - 6 = 2 \).

3. в) Угол между векторами:

   Угол \(\theta\) между векторами находится по формуле: \( \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} \).
   Сначала найдём длину вектора \(\vec{b}\): \( |\vec{b}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 0 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \>.
   Теперь найдём косинус угла: \( \cos \theta = \frac{2}{\sqrt{14} \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{70}} \>.
   Следовательно, \( \theta = \arccos\left\(\frac{1}{\sqrt{70}}\right\) \>.