Часть 2. Вертикальные углы. 1. При пересечении двух прямых сумма трёх углов равна 280°. Найдите все четыре угла. 2. Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, в 8 раз больше другого. Найдите все углы. 3. При пересечении прямых AB и CD в точке O угол AOC на 40° меньше угла AOD. Найдите все образовавшиеся углы. 4. Три прямые пересекаются в одной точке. Сумма шести образовавшихся углов, кроме одного, равна 300°. Найдите все углы.

Сумма четырёх углов при пересечении прямых равна 360°. Поэтому четвёртый угол равен 360° − 280° = 80°. Вертикальный ему угол также равен 80°, а два смежных угла равны 180° − 80° = 100°.

Ответ: 80°, 100°, 80°, 100°.

При пересечении двух прямых углы бывают двух величин: x° и (180 − x)°. Больший угол в 8 раз больше меньшего, поэтому 8x + x = 180; 9x = 180; x = 20°. Другой угол равен 160°. Каждый встречается дважды как вертикальная пара.

Ответ: 20°, 160°, 20°, 160°.

∠AOC и ∠AOD — смежные. Пусть ∠AOC = x°, тогда ∠AOD = x + 40°. Получаем x + x + 40 = 180, откуда x = 70° и ∠AOD = 110°. Вертикальные им углы равны соответственно.

Ответ: ∠AOC = ∠BOD = 70°; ∠AOD = ∠BOC = 110°.

Пусть один из шести углов равен x°. Тогда сумма остальных пяти равна 300°, а сумма всех шести — 300° + x°. Угол, вертикальный выбранному, тоже равен x°, поэтому сумма всех шести углов равна 360°. Следовательно, 300 + x = 360, откуда x = 60°. Противоположный ему угол также 60°. Оставшиеся четыре угла по сумме равны 240° и образуют две пары вертикальных углов; смежные с углом 60° углы равны 120°.

Ответ: два угла по 60° и четыре угла по 120°.