Ответ:

  1. В слове негромкие НЕ пишется слитно, потому что прилагательное без НЕ не теряет значения, а слово можно заменить синонимом тихие. Противопоставления с союзом а нет.
  2. Деепричастные обороты есть в предложениях 2, 6: отбрасывая на снег длинные тени; выбрав сухое дерево.
  3. Грамматическая основа: ухо ловит.
  4. Повтор можно исправить так: Это, выбрав сухое дерево, барабанит пёстрый дятел. Он ищет корм — личинки насекомых — и избавляет лес от вредителей.

Ответ: 1) слитное написание объясняется возможностью заменить слово синонимом «тихие»; 2) 2, 6; 3) ухо ловит; 4) заменить второе слово «дятел» местоимением «он».